Encontre a massa de um arame que está sobre a curva R(t) = (t^2 - 1) j + (2 t) k, 0 <= t <= 1, se a densidade for delta(t) = 3 * 3t / 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a massa de um arame que está sobre uma curva específica. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como parametrização de curvas e integrais. Vamos precisar da fórmula da massa, que envolve a densidade e o comprimento da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva onde o arame está. A curva é dada por para . Isso significa que a posição do arame muda conforme o valor de varia de 0 a 1.

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de em relação a , que nos dá o vetor velocidade . Vamos derivar cada componente:

Passo 4

A próxima coisa é encontrar o comprimento do vetor , que é a magnitude do vetor velocidade. Usamos a fórmula:

Passo 5

A densidade do arame é dada por . Isso significa que a densidade varia conforme varia.

Passo 6

Agora, para encontrar a massa do arame, usamos a integral da densidade multiplicada pelo comprimento da curva:

Passo 7

Simplificando a expressão da integral:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição:
Seja , então ou .

Passo 8

Substituindo na integral:
Integrando:

Resposta

A massa do arame é unidades de massa.

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