Encontre a massa de um arame que está sobre a curva
, se a densidade for
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a massa de um arame que está sobre uma curva específica. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como parametrização de curvas e integrais. Vamos precisar da fórmula da massa, que envolve a densidade e o comprimento da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva onde o arame está. A curva é dada por
para
. Isso significa que a posição do arame muda conforme o valor de
varia de 0 a 1.
Passo 3
Agora, precisamos calcular a derivada de
em relação a
, que nos dá o vetor velocidade
. Vamos derivar cada componente:
Passo 4
A próxima coisa é encontrar o comprimento do vetor
, que é a magnitude do vetor velocidade. Usamos a fórmula:
Passo 5
A densidade do arame é dada por
. Isso significa que a densidade varia conforme
varia.
Passo 6
Agora, para encontrar a massa do arame, usamos a integral da densidade multiplicada pelo comprimento da curva:
Passo 7
Simplificando a expressão da integral:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição:
Seja , então
ou
.
Seja
Passo 8
Substituindo na integral:
Integrando:
Resposta
A massa do arame é
unidades de massa.