, onde
é o triângulo com vértices em
e
.
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que o exercício pede. Temos que calcular a integral de linha
onde
é o triângulo com vértices em
,
,
e
. Observamos que na verdade são quatro pontos, formando um quadrado. O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de integrais de linha em campos vetoriais, e para resolver, vamos precisar usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada pela curva
.
Passo 2
Vamos aplicar o Teorema de Green, que nos permite transformar a integral de linha em uma integral dupla. O Teorema de Green diz que:
No nosso caso, identificamos
e
.
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais necessárias:
Subtraindo:
Passo 4
Agora, a integral de linha se transforma em uma integral dupla sobre a região
:
Passo 5
Vamos definir os limites de integração. Como
é o contorno de um quadrado com vértices em
,
,
e
, a região
é o quadrado
.
Passo 6
Configuramos a integral dupla:
Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 7
Agora, integramos em relação a
:
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Integre
sobre o caminho
.
Encontre a massa de um arame que está sobre a curva
, se a densidade for
.
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração: