ointC 2 x y d x-x^2 y d y, onde C é o triângulo com vértices em (0,0),(1,0),(1,1) e (0,1).

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que o exercício pede. Temos que calcular a integral de linha
ointC 2xy, dx - x^2y, dy
onde é o triângulo com vértices em , , e . Observamos que na verdade são quatro pontos, formando um quadrado. O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de integrais de linha em campos vetoriais, e para resolver, vamos precisar usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada pela curva .

Passo 2

Vamos aplicar o Teorema de Green, que nos permite transformar a integral de linha em uma integral dupla. O Teorema de Green diz que:
ointC M, dx + N, dy = integral duplaD ( partial Npartial x - partial Mpartial y ) dx, dy
No nosso caso, identificamos e .

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais necessárias:
partial Npartial x = partialpartial x (-x^2y) = -2xy
partial Mpartial y = partialpartial y (2xy) = 2x
Subtraindo:
partial Npartial x - partial Mpartial y = -2xy - 2x = -2x(y + 1)

Passo 4

Agora, a integral de linha se transforma em uma integral dupla sobre a região integral duplaD -2x(y + 1), dx, dy :

Passo 5

Vamos definir os limites de integração. Como é o contorno de um quadrado com vértices em , , e , a região é o quadrado .

Passo 6

Configuramos a integral dupla:
integral0^1 integral0^1 -2x(y + 1), dy, dx
Primeiro, integramos em relação a integral0^1 -2x ( integral0^1 (y + 1), dy ) dx :
= integral0^1 -2x [ 12y^2 + y ]0^1 dx
= integral0^1 -2x ( 12 + 1 ) dx
= integral0^1 -2x cdot 32 dx
= integral0^1 -3x, dx

Passo 7

Agora, integramos em relação a -3 integral0^1 x, dx = -3 [ 12x^2 ]0^1 = -3 cdot 12 = -32 :

Resposta

O valor da integral é .

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