Encontre a matriz canônica do operador T: R^3 R^3 definido por
& w1=3 x1+5 x2-x3 & w2=4 x1-x2+x3 & w3=3 x1+2 x2-x3
e depois calcule T(-1,2,4) por substituição direta nas equações e também por multiplicação matricial.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um operador linear w1 &= 3x1 + 5x2 - x3 w2 &= 4x1 - x2 + x3 w3 &= 3x1 + 2x2 - x3 definido por essas três equações:
O que precisamos fazer é:
  1. Encontrar a matriz canônica desse operador .
  2. Calcular de duas formas: substituição direta nas equações e multiplicação matricial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a matriz canônica de um operador linear. Basicamente, é uma matriz que representa o operador em relação aos vetores padrão do espaço. Para encontrar essa matriz, organizamos os coeficientes das equações que definem o operador em forma de matriz.
Dado que w = A x transforma o vetor em , podemos escrever isso como:
Onde é a matriz canônica que queremos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos montar a matriz A = 3 & 5 & -1 4 & -1 & 1 3 & 2 & -1 usando os coeficientes das equações dadas:
Cada linha de corresponde aos coeficientes de e respectivamente nas equações originais.

Passo 4

Com a matriz canônica w1 &= 3(-1) + 5(2) - (4) = -3 + 10 - 4 = 3 w2 &= 4(-1) - (2) + (4) = -4 - 2 + 4 = -2 w3 &= 3(-1) + 2(2) - (4) = -3 + 4 - 4 = -3 pronta, vamos calcular de duas maneiras.
Primeiro, pela substituição direta nas equações:
Então, .

Passo 5

Agora, vamos fazer o mesmo cálculo usando a multiplicação matricial. Queremos multiplicar a matriz -1 2 4 pelo vetor A x = 3 & 5 & -1 4 & -1 & 1 3 & 2 & -1 -1 2 4 :
w1 &= 3(-1) + 5(2) + (-1)(4) = -3 + 10 - 4 = 3 w2 &= 4(-1) + (-1)(2) + 1(4) = -4 - 2 + 4 = -2 w3 &= 3(-1) + 2(2) + (-1)(4) = -3 + 4 - 4 = -3
Vamos multiplicar linha por coluna:
Então, novamente, .

Resposta

A matriz canônica do operador A = 3 & 5 & -1 4 & -1 & 1 3 & 2 & -1 é
E tanto pela substituição direta quanto pela multiplicação matricial.

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