Seja reta r no plano, dada pela equaço 2 x-3 y+4=0. Mostre que barn=(2,-3) é ortogonal a lodos os velores da retar.

Passo 1

Então, temos a reta no plano definida pela equação . O objetivo aqui é mostrar que o vetor é ortogonal a todos os vetores diretores da reta . Vamos usar conceitos de geometria analítica para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de uma reta no plano pode ser escrita como , onde e são os coeficientes que formam o vetor normal à reta. Esse vetor é perpendicular a qualquer vetor que represente a direção da reta.

Passo 3

No nosso caso, a equação da reta é . Comparando com a forma geral , vemos que e . Portanto, o vetor normal à reta é .

Passo 4

Agora, para mostrar que é ortogonal a todos os vetores diretores da reta , precisamos entender que um vetor diretor da reta satisfaz a condição , ou seja, o produto escalar entre e é zero.

Passo 5

Vamos calcular o produto escalar entre barn cdot barv = 2vx + (-3)vy = 0 e um vetor diretor qualquer :
Isso confirma que é perpendicular a , já que o produto escalar é zero.

Resposta

Portanto, é realmente ortogonal a todos os vetores diretores da reta .

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