Seja reta r no plano, dada pela equaço
. Mostre que
é ortogonal a lodos os velores da retar.
Passo 1
Então, temos a reta
no plano definida pela equação
. O objetivo aqui é mostrar que o vetor
é ortogonal a todos os vetores diretores da reta
. Vamos usar conceitos de geometria analítica para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de uma reta no plano pode ser escrita como
, onde
e
são os coeficientes que formam o vetor normal
à reta. Esse vetor é perpendicular a qualquer vetor que represente a direção da reta.
Passo 3
No nosso caso, a equação da reta é
. Comparando com a forma geral
, vemos que
e
. Portanto, o vetor normal à reta é
.
Passo 4
Agora, para mostrar que
é ortogonal a todos os vetores diretores da reta
, precisamos entender que um vetor diretor
da reta satisfaz a condição
, ou seja, o produto escalar entre
e
é zero.
Passo 5
Vamos calcular o produto escalar entre
e um vetor diretor qualquer
:
Isso confirma que
é perpendicular a
, já que o produto escalar é zero.
Resposta
Portanto,
é realmente ortogonal a todos os vetores diretores da reta
.