Seja
uma função, em que
e
são espaços vetoriais de dimensão finita com escalares reais. Determine se as afirmações são verdadeiras ou falsas.
e) Se
é linear então
e) Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função linear
, onde
e
são espaços vetoriais de dimensão finita sobre os números reais. A gente precisa verificar se a afirmação:
é verdadeira ou falsa. Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Núcleo e da Imagem (também conhecido como Teorema da Dimensão).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é cada parte dessa equação:
-
(núcleo de ): é o conjunto de todos os vetores do que são enviados para o vetor zero em . Ou seja, . -
(imagem de ): é o conjunto de todos os vetores em que são imagens de algum vetor de através de . Ou seja, . -
Dimensão:
e representam o número de vetores em uma base para o núcleo e para a imagem, respectivamente.
Passo 3
O Teorema do Núcleo e da Imagem nos diz que:
Isso quer dizer que a soma da dimensão do núcleo com a dimensão da imagem de
é igual à dimensão do espaço de partida
.
Passo 4
Agora, vamos comparar isso com a afirmação que precisamos verificar:
Segundo o teorema, a soma das dimensões é igual a
, não a
. A menos que
, o que não foi especificado no enunciado, essa igualdade geral para todos os casos não é verdadeira.
Resposta
A afirmação é falsa.