Seja T: V W uma função, em que V e W são espaços vetoriais de dimensão finita com escalares reais. Determine se as afirmações são verdadeiras ou falsas.
e) Se T: V W é linear então dim ker T+dim Im T=dim W

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função linear dim ker T + dim Im T = dim W , onde e são espaços vetoriais de dimensão finita sobre os números reais. A gente precisa verificar se a afirmação:
é verdadeira ou falsa. Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Núcleo e da Imagem (também conhecido como Teorema da Dimensão).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é cada parte dessa equação:
  • (núcleo de ): é o conjunto de todos os vetores do que são enviados para o vetor zero em . Ou seja, .
  • (imagem de ): é o conjunto de todos os vetores em que são imagens de algum vetor de através de . Ou seja, .
  • Dimensão: e representam o número de vetores em uma base para o núcleo e para a imagem, respectivamente.

Passo 3

O Teorema do Núcleo e da Imagem nos diz que:
dim ker T + dim Im T = dim V
Isso quer dizer que a soma da dimensão do núcleo com a dimensão da imagem de é igual à dimensão do espaço de partida .

Passo 4

Agora, vamos comparar isso com a afirmação que precisamos verificar:
dim ker T + dim Im T = dim W
Segundo o teorema, a soma das dimensões é igual a , não a . A menos que , o que não foi especificado no enunciado, essa igualdade geral para todos os casos não é verdadeira.

Resposta

A afirmação é falsa.

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