Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma matriz A = 3 & 2 & 1 2 & 3 & 1 1 & 1 & 4 dada por:
E o objetivo é encontrar a matriz inversa dessa matriz . Para isso, vamos usar o método da matriz adjunta e calcular o determinante. Vamos precisar saber como calcular determinantes, cofatores e a matriz adjunta.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz |A| = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) . O determinante é uma medida que nos diz se a matriz é invertível (se for diferente de zero) e é fundamental para encontrar a inversa. Para uma matriz 3x3, o determinante a & b & c d & e & f g & h & i pode ser calculado assim:
Como o determinante é diferente de zero ( Cij = (-1)^i+j cdot Mij ), a matriz M11 = 3 & 1 1 & 4 = (3)(4) - (1)(1) = 12 - 1 = 11 é invertível. Agora, vamos encontrar a matriz adjunta de C11 = (-1)^1+1 cdot 11 = 1 cdot 11 = 11 , que é a transposta da matriz de cofatores.
Primeiro, precisamos calcular os cofatores de cada elemento da matriz M12 = 2 & 1 1 & 4 = (2)(4) - (1)(1) = 8 - 1 = 7 . O cofator C12 = (-1)^1+2 cdot 7 = -1 cdot 7 = -7 é dado por:
M13 = 2 & 3 1 & 1 = (2)(1) - (3)(1) = 2 - 3 = -1
Onde C13 = (-1)^1+3 cdot (-1) = 1 cdot (-1) = -1 é o menor complementar do elemento na linha M21 = 2 & 1 1 & 4 = (2)(4) - (1)(1) = 8 - 1 = 7 e coluna C21 = (-1)^2+1 cdot 7 = -1 cdot 7 = -7 .
Vamos calcular os menores e os cofatores para cada posição: