Inverta a matriz: A=(lll3 & 2 & 1 2 & 3 & 1 1 & 1 & 4)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma matriz A = 3 & 2 & 1 2 & 3 & 1 1 & 1 & 4 dada por:
E o objetivo é encontrar a matriz inversa dessa matriz . Para isso, vamos usar o método da matriz adjunta e calcular o determinante. Vamos precisar saber como calcular determinantes, cofatores e a matriz adjunta.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz |A| = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) . O determinante é uma medida que nos diz se a matriz é invertível (se for diferente de zero) e é fundamental para encontrar a inversa. Para uma matriz 3x3, o determinante a & b & c d & e & f g & h & i pode ser calculado assim:
|A| = 3(3 cdot 4 - 1 cdot 1) - 2(2 cdot 4 - 1 cdot 1) + 1(2 cdot 1 - 3 cdot 1)
Onde a matriz é:
|A| = 3(12 - 1) - 2(8 - 1) + 1(2 - 3) = 3 cdot 11 - 2 cdot 7 + 1 cdot (-1) = 33 - 14 - 1 = 18
Aplicando isso na nossa matriz :
Vamos calcular cada parte:
Então, o determinante de é 18.

Passo 3

Como o determinante é diferente de zero ( Cij = (-1)^i+j cdot Mij ), a matriz M11 = 3 & 1 1 & 4 = (3)(4) - (1)(1) = 12 - 1 = 11 é invertível. Agora, vamos encontrar a matriz adjunta de C11 = (-1)^1+1 cdot 11 = 1 cdot 11 = 11 , que é a transposta da matriz de cofatores.
Primeiro, precisamos calcular os cofatores de cada elemento da matriz M12 = 2 & 1 1 & 4 = (2)(4) - (1)(1) = 8 - 1 = 7 . O cofator C12 = (-1)^1+2 cdot 7 = -1 cdot 7 = -7 é dado por:
M13 = 2 & 3 1 & 1 = (2)(1) - (3)(1) = 2 - 3 = -1
Onde C13 = (-1)^1+3 cdot (-1) = 1 cdot (-1) = -1 é o menor complementar do elemento na linha M21 = 2 & 1 1 & 4 = (2)(4) - (1)(1) = 8 - 1 = 7 e coluna C21 = (-1)^2+1 cdot 7 = -1 cdot 7 = -7 .
Vamos calcular os menores e os cofatores para cada posição:
  1. Cofator M22 = 3 & 1 1 & 4 = (3)(4) - (1)(1) = 12 - 1 = 11 :
C22 = (-1)^2+2 cdot 11 = 1 cdot 11 = 11
M23 = 3 & 2 1 & 1 = (3)(1) - (2)(1) = 3 - 2 = 1
  1. Cofator C23 = (-1)^2+3 cdot 1 = -1 cdot 1 = -1 :
M31 = 2 & 1 3 & 1 = (2)(1) - (1)(3) = 2 - 3 = -1
C31 = (-1)^3+1 cdot (-1) = 1 cdot (-1) = -1
  1. Cofator M32 = 3 & 1 2 & 1 = (3)(1) - (1)(2) = 3 - 2 = 1 :
C32 = (-1)^3+2 cdot 1 = -1 cdot 1 = -1
M33 = 3 & 2 2 & 3 = (3)(3) - (2)(2) = 9 - 4 = 5
  1. Cofator C33 = (-1)^3+3 cdot 5 = 1 cdot 5 = 5 :
Cof(A) = 11 & -7 & -1 -7 & 11 & -1 -1 & -1 & 5
  1. Cofator :
  1. Cofator :
  1. Cofator :
  1. Cofator :
  1. Cofator :
Agora, montamos a matriz de cofatores:

Passo 4

A próxima etapa é calcular a matriz adjunta, que é a transposta da matriz de cofatores. Para transpor uma matriz, trocamos as linhas pelas colunas.
Transpondo a matriz de cofatores:
Adj(A) = Cof(A)^T = 11 & -7 & -1 -7 & 11 & -1 -1 & -1 & 5 ^T = 11 & -7 & -1 -7 & 11 & -1 -1 & -1 & 5
No caso dessa matriz, a transposta permanece a mesma porque ela é simétrica.

Passo 5

Finalmente, para encontrar a matriz inversa A^-1 = 1|A| cdot Adj(A) , usamos a fórmula:
A^-1 = 118 cdot 11 & -7 & -1 -7 & 11 & -1 -1 & -1 & 5
Já calculamos o determinante A^-1 = 1118 & -718 & -118 -718 & 1118 & -118 -118 & -118 & 518 e a adjunta . Então:
Simplificando, multiplicamos cada elemento da adjunta por :

Resposta

A matriz inversa de A^-1 = 1118 & -718 & -118 -718 & 1118 & -118 -118 & -118 & 518 é:

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