(PUC-MG) Escreva na forma a + bi, o produto dos trés números complexos:
z2=3(cos 135^circ+ i

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. A gente tem um número complexo dado na forma trigonométrica: . A matéria que estamos trabalhando é sobre números complexos e suas diferentes representações. Precisamos converter esse número complexo da forma trigonométrica para a forma algébrica, que é .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um número complexo na forma trigonométrica. Ele é representado por , onde:
  • é o módulo (a distância do número até a origem no plano complexo),
  • é o argumento (o ângulo que o número forma com o eixo real),
  • é a unidade imaginária, com a propriedade .
No nosso caso, e .

Passo 3

Para converter para a forma , precisamos calcular e .
Sabemos que:

Passo 4

Agora, vamos multiplicar cada parte pelo módulo a = 3 cdot cos 135^circ = 3 cdot (-raiz22) = -3raiz22 :
b = 3 cdot sen 135^circ = 3 cdot raiz22 = 3raiz22

Resposta

Portanto, o número complexo z2 = -3raiz22 + 3raiz22i na forma é:

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