Encontre uma matriz escalonada reduzida equivalente por linhas às matrizes abaixo: (b) [llll1 & 1 & 1 & 1 1 & 0 & 0 & 1 1 & 2 & 1 & 0].

Passo 1

Beleza, vamos resolver uma matriz para chegar na forma escalonada reduzida por linhas. O tópico aqui é Álgebra Linear, especificamente operações de linha em matrizes. Para resolver, vamos precisar aplicar operações básicas como trocar linhas, multiplicar uma linha por um número e somar múltiplos de uma linha a outra.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz que estamos trabalhando:
1 & 1 & 1 & 1 1 & 0 & 0 & 1 1 & 2 & 1 & 0

Passo 3

O objetivo é transformar essa matriz em uma forma onde os números abaixo e acima dos pivôs (os 1s principais) sejam zeros. Vamos começar pela primeira coluna.

Passo 4

Já que o primeiro elemento da primeira linha é 1, podemos usar ele como pivô. Agora, vamos zerar os elementos abaixo desse 1 na primeira coluna. Para isso, subtrairemos a primeira linha da segunda e da terceira linha.
R2 = R2 - R1 Rightarrow 1 & 1 & 1 & 1 0 & -1 & -1 & 0 1 & 2 & 1 & 0
R3 = R3 - R1 Rightarrow 1 & 1 & 1 & 1 0 & -1 & -1 & 0 0 & 1 & 0 & -1

Passo 5

Agora, vamos focar na segunda coluna. O elemento R2 = -1 times R2 Rightarrow 1 & 1 & 1 & 1 0 & 1 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & -1 na posição (2,2) será nosso próximo pivô. Para facilitar, podemos multiplicar a segunda linha por para que o pivô seja positivo.

Passo 6

Com o pivô definido, vamos zerar os outros elementos na segunda coluna. Subtrairemos a segunda linha da primeira e da terceira linha.
R1 = R1 - R2 Rightarrow 1 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & -1
R3 = R3 - R2 Rightarrow 1 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & -1 & -1

Passo 7

Agora, vamos para a terceira coluna. O elemento R3 = -1 times R3 Rightarrow 1 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 1 na posição (3,3) será nosso pivô. Multiplicamos a terceira linha por para torná-lo positivo.

Passo 8

Finalmente, vamos zerar os elementos acima do pivô na terceira coluna. Subtrairemos a terceira linha da segunda e verificaremos a primeira linha (que já está adequada).
R2 = R2 - R3 Rightarrow 1 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 & -1 0 & 0 & 1 & 1

Resposta

A matriz escalonada reduzida por linhas é:
1 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 & -1 0 & 0 & 1 & 1

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