Encontre uma matriz ortogonal que diagonaliza
a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de álgebra linear! A gente precisa encontrar uma matriz ortogonal que diagonaliza a matriz
Isso significa que vamos encontrar uma matriz cujas colunas são vetores ortogonais (ou seja, perpendiculares entre si) e tal que seja uma matriz diagonal. Para isso, vamos precisar usar conceitos de autovalores e autovetores.

Passo 2

O primeiro passo é encontrar os autovalores de . Autovalores são números que satisfazem a equação:
Onde é a matriz identidade. Então, vamos calcular o determinante de :
Calculando o determinante, temos:
Resolvendo para :
Isso nos dá os autovalores:

Passo 3

Agora que temos os autovalores, precisamos encontrar os autovetores correspondentes a cada . Para cada autovalor , resolvemos para encontrar o vetor .
Vamos começar com :
Resolvendo , encontramos que os autovetores são combinações lineares onde . Então, podemos escolher:
De maneira similar, para e , encontramos os autovetores:

Passo 4

Agora, precisamos normalizar esses autovetores para que a matriz seja ortogonal. Isso significa que cada coluna de deve ser um vetor unitário (com comprimento 1).
Vamos normalizar cada :
Então, os vetores normalizados são:

Passo 5

Finalmente, montamos a matriz com esses vetores normalizados como colunas:

Resposta

A matriz ortogonal que diagonaliza é

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Seja uma família de relações de equivalência sobre . Mostre que é uma relação de equivalência sobre .
Seja definida por . Ache a matriz de B em relação à base canônica de .
Verifique se os conjuntos abaixo são espaço vetoriais reais, com as operações usuais. No caso afirmativo, exiba uma base e dê a dimensão.
b) igual ao conjunto das matrizes escalares .
Responda Seja . Ache a matriz da forma bilinear associada.