Encontre uma matriz ortogonal P que diagonaliza
a) A=[lll4 & 2 & 2 2 & 4 & 2 2 & 2 & 4]

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de álgebra linear! A gente precisa encontrar uma matriz ortogonal A = 4 & 2 & 2 2 & 4 & 2 2 & 2 & 4 que diagonaliza a matriz
Isso significa que vamos encontrar uma matriz cujas colunas são vetores ortogonais (ou seja, perpendiculares entre si) e tal que seja uma matriz diagonal. Para isso, vamos precisar usar conceitos de autovalores e autovetores.

Passo 2

O primeiro passo é encontrar os autovalores de det(A - lambda I) = 0 . Autovalores são números A - lambda I = 4 - lambda & 2 & 2 2 & 4 - lambda & 2 2 & 2 & 4 - lambda que satisfazem a equação:
det(A - lambda I) = (4 - lambda)^3 - 3 cdot 2^2 (4 - lambda) = (4 - lambda)[(4 - lambda)^2 - 12]
Onde (4 - lambda)[(4 - lambda)^2 - 12] = 0 é a matriz identidade. Então, vamos calcular o determinante de lambda1 = 4, lambda2 = 4 + 2raiz3, lambda3 = 4 - 2raiz3 :
Calculando o determinante, temos:
Resolvendo para :
Isso nos dá os autovalores:

Passo 3

Agora que temos os autovalores, precisamos encontrar os autovetores correspondentes a cada A - 4I = 0 & 2 & 2 2 & 0 & 2 2 & 2 & 0 . Para cada autovalor v1 = 1 1 1 , resolvemos v2 = 1 1 -1, v3 = 1 -1 1 para encontrar o vetor .
Vamos começar com :
Resolvendo , encontramos que os autovetores são combinações lineares onde . Então, podemos escolher:
De maneira similar, para e , encontramos os autovetores:

Passo 4

Agora, precisamos normalizar esses autovetores para que a matriz |v1| = raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = raiz3 seja ortogonal. Isso significa que cada coluna de |v2| = raiz1^2 + 1^2 + (-1)^2 = raiz3 deve ser um vetor unitário (com comprimento 1).
Vamos normalizar cada |v3| = raiz1^2 + (-1)^2 + 1^2 = raiz3 :
u1 = 1raiz31 1 1, u2 = 1raiz31 1 -1, u3 = 1raiz31 -1 1
Então, os vetores normalizados são:

Passo 5

Finalmente, montamos a matriz P = 1raiz3 1 & 1 & 1 1 & 1 & -1 1 & -1 & 1 com esses vetores normalizados como colunas:

Resposta

A matriz ortogonal que diagonaliza P = 1raiz3 1 & 1 & 1 1 & 1 & -1 1 & -1 & 1 é

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