Beleza, vamos resolver um exercício de álgebra linear! A gente precisa encontrar uma matriz ortogonal que diagonaliza a matriz
Isso significa que vamos encontrar uma matriz cujas colunas são vetores ortogonais (ou seja, perpendiculares entre si) e tal que seja uma matriz diagonal. Para isso, vamos precisar usar conceitos de autovalores e autovetores.
Passo 2
O primeiro passo é encontrar os autovalores de . Autovalores são números que satisfazem a equação:
Onde é a matriz identidade. Então, vamos calcular o determinante de :
Calculando o determinante, temos:
Resolvendo para :
Isso nos dá os autovalores:
Passo 3
Agora que temos os autovalores, precisamos encontrar os autovetores correspondentes a cada . Para cada autovalor , resolvemos para encontrar o vetor .
Vamos começar com :
Resolvendo , encontramos que os autovetores são combinações lineares onde . Então, podemos escolher:
De maneira similar, para e , encontramos os autovetores:
Passo 4
Agora, precisamos normalizar esses autovetores para que a matriz seja ortogonal. Isso significa que cada coluna de deve ser um vetor unitário (com comprimento 1).
Vamos normalizar cada :
Então, os vetores normalizados são:
Passo 5
Finalmente, montamos a matriz com esses vetores normalizados como colunas: