Verifique se os conjuntos abaixo são espaço vetoriais reais, com as operações usuais. No caso afirmativo, exiba uma base e dê a dimensão.
b) igual ao conjunto das matrizes escalares .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se um conjunto específico de matrizes, chamado , é um espaço vetorial real com as operações que a gente já conhece (adição e multiplicação por escalar). Se for, a gente também precisa mostrar uma base para esse espaço e dizer qual é a dimensão dele. Aqui, é o conjunto das matrizes escalares .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma matriz escalar. Uma matriz escalar é uma matriz quadrada onde todos os elementos da diagonal principal são iguais e os demais elementos são zero. Ou seja, uma matriz escalar tem a seguinte forma:
onde é um número real e é a matriz identidade .
Passo 3
Agora, vamos verificar se é um espaço vetorial. Para isso, precisamos checar se ele satisfaz todas as propriedades de um espaço vetorial, como fechamento sob adição e multiplicação por escalar, existência do elemento zero, etc. Vamos focar nos principais:
Fechamento por adição: Se pegarmos duas matrizes escalares e , a soma delas será:
que ainda é uma matriz escalar. Então, está fechado por adição.
Fechamento por multiplicação por escalar: Se multiplicarmos uma matriz escalar por um escalar , teremos:
que também é uma matriz escalar. Então, está fechado por multiplicação por escalar.
Como todas as outras propriedades dos espaços vetoriais são satisfeitas (como existência do zero, associatividade, etc.), podemos concluir que é um espaço vetorial real.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma base para . Uma base é um conjunto de vetores (ou matrizes, no caso) que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No nosso caso, como todo elemento de é uma múltiplo da matriz identidade, só precisamos de uma matriz para gerar todo o espaço.
Assim, podemos escolher a matriz identidade como base:
Passo 5
Por fim, a dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores na sua base. Como nossa base tem apenas uma matriz , a dimensão de é:
ã
Resposta
Sim, é um espaço vetorial real. Uma base para é e a dimensão é 1.