Responda Seja
. Ache a matriz da forma bilinear associada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma forma quadrática
, onde
. A tarefa é encontrar a matriz da forma bilinear associada a essa expressão. Isso significa que vamos transformar essa forma quadrática em uma matriz que representa uma forma bilinear correspondente.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que qualquer forma quadrática pode ser escrita como
, onde
é uma matriz simétrica. Assim, nossa missão é encontrar essa matriz
que, quando fazemos essa multiplicação, resulta na nossa forma quadrática original.
Passo 3
Vamos expandir
para ver como os termos se relacionam:
Ao multiplicar essas matrizes, obtemos:
Passo 4
Agora, vamos comparar isso com a forma quadrática original
:
-
Para
:
(porque o coeficiente de é 1). -
Para
:
. Mas como é simétrica, . Então: -
Para
:
(porque o coeficiente de é 1).
Resposta
Assim, a matriz da forma bilinear associada é: