Responda Seja Q(v)=x^2-10 x y+y^2 ; v=(x, y). Ache a matriz da forma bilinear associada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma forma quadrática , onde . A tarefa é encontrar a matriz da forma bilinear associada a essa expressão. Isso significa que vamos transformar essa forma quadrática em uma matriz que representa uma forma bilinear correspondente.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que qualquer forma quadrática pode ser escrita como , onde é uma matriz simétrica. Assim, nossa missão é encontrar essa matriz que, quando fazemos essa multiplicação, resulta na nossa forma quadrática original.

Passo 3

Vamos expandir v^T A v = x & y a11 & a12 a21 & a22 x y para ver como os termos se relacionam:
a11x^2 + (a12 + a21)xy + a22y^2
Ao multiplicar essas matrizes, obtemos:

Passo 4

Agora, vamos comparar isso com a forma quadrática original 2a12 = -10 implies a12 = a21 = -5 :
  • Para :
    (porque o coeficiente de é 1).
  • Para :
    . Mas como é simétrica, . Então:
  • Para :
    (porque o coeficiente de é 1).

Resposta

Assim, a matriz da forma bilinear associada é:
A = 1 & -5 -5 & 1

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