Responda Seja . Ache a matriz da forma bilinear associada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma forma quadrática , onde . A tarefa é encontrar a matriz da forma bilinear associada a essa expressão. Isso significa que vamos transformar essa forma quadrática em uma matriz que representa uma forma bilinear correspondente.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que qualquer forma quadrática pode ser escrita como , onde é uma matriz simétrica. Assim, nossa missão é encontrar essa matriz que, quando fazemos essa multiplicação, resulta na nossa forma quadrática original.

Passo 3

Vamos expandir para ver como os termos se relacionam:
Ao multiplicar essas matrizes, obtemos:

Passo 4

Agora, vamos comparar isso com a forma quadrática original :
  • Para :
    (porque o coeficiente de é 1).
  • Para :
    . Mas como é simétrica, . Então:
  • Para :
    (porque o coeficiente de é 1).

Resposta

Assim, a matriz da forma bilinear associada é:

Exercícios relacionados

Verifique se os conjuntos abaixo são espaço vetoriais reais, com as operações usuais. No caso afirmativo, exiba uma base e dê a dimensão.
b) igual ao conjunto das matrizes escalares .
Encontre uma matriz ortogonal que diagonaliza
a)
Encontre a matriz que diagonaliza as matrizes
b)
Responda Seja Seja . Expresse na forma matricial