Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear onde precisamos encontrar a matriz que diagonaliza a matriz . Para isso, vamos usar conceitos de autovalores e autovetores. Primeiro, precisamos encontrar os autovalores de resolvendo o determinante , onde é a matriz identidade. Depois, para cada autovalor, vamos encontrar os autovetores correspondentes. Finalmente, organizamos esses autovetores em colunas na matriz .
Então, os autovalores são e (com multiplicidade 2).
Passo 3
Agora, vamos encontrar os autovetores para cada autovalor.
Para A - I = 0 & 0 & 0 1 & 1 & 0 -3 & 5 & 1 :
Resolvemos 0x + 0y + 0z = 0 x + y = 0 -3x + 5y + z = 0 :
-3x + 5(-x) + z = 0 implies -8x + z = 0 implies z = 8x
Isso nos dá o sistema:
v1 = x -x 8x = x 1 -1 8
Da segunda equação, v1 = 1 -1 8 . Substituindo na terceira:
A - 2I = -1 & 0 & 0 1 & 0 & 0 -3 & 5 & 0
Portanto, o autovetor correspondente a - x = 0 x = 0 -3x + 5y = 0 é:
v2 = 0 0 1
Podemos escolher :
Para :
Resolvemos :
Isso nos dá o sistema:
Da primeira equação, . Da terceira equação, .
Portanto, é livre. Podemos escolher :
Como a multiplicidade do autovalor 2 é 2, precisamos de dois autovetores linearmente independentes. Contudo, nesse caso específico, parece que há apenas um autovetor associado a , o que indica que a matriz não é diagonalizável. Mas, para fins de exercício, vamos supor que temos outro autovetor.
Segundo autovetor para :
Como não conseguimos um segundo autovetor, isso confirma que a matriz não é diagonalizável. Portanto, não existe uma matriz invertível que diagonalize .
Resposta
A matriz não é diagonalizável, portanto não existe uma matriz que a diagonalize.