Responda Seja Seja Q(x, y, z)=3 x^2+2 x y+4 y^2+5 y z. Expresse Q na forma matricial

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função quadrática . O objetivo é expressar essa função na forma matricial. Para isso, vamos usar a ideia de representar expressões quadráticas com matrizes, que facilita muitos cálculos, especialmente em álgebra linear.

Passo 2

A forma matricial de uma função quadrática é dada por:
Q(x) = x^T A x
onde é o vetor das variáveis e é uma matriz simétrica que contém os coeficientes da função.

Passo 3

Primeiro, identifique o vetor das variáveis. No nosso caso, as variáveis são x = x y z , e , então:

Passo 4

Agora, vamos montar a matriz . A diagonal da matriz contém os coeficientes das variáveis ao quadrado. Os elementos fora da diagonal contêm metade dos coeficientes das variáveis cruzadas (como e ). Então:
  • Para , o coeficiente é 3.
  • Para , o coeficiente é 4.
  • Para os termos cruzados:
    • → dividimos por 2, ficando 1.
    • → dividimos por 2, ficando 2.5.

Passo 5

As outras posições na matriz que não correspondem a nenhum termo na função são preenchidas com zero. Assim, a matriz A = 3 & 1 & 0 1 & 4 & 2.5 0 & 2.5 & 0 fica:

Resposta

A forma matricial de Q(x) = x & y & z 3 & 1 & 0 1 & 4 & 2.5 0 & 2.5 & 0 x y z é:

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