Encontre a matriz que representa a composição das projeções ortogonais com relação ao eixo x e ao eixo
. A ordem da composição importa neste caso?
Passo 1
Vamos resolver um exercício de Álgebra Linear que envolve projeções ortogonais. Precisamos encontrar a matriz que representa a composição das projeções ortogonais em relação ao eixo
e à reta
. Além disso, vamos verificar se a ordem dessas projeções importa. Para isso, vamos utilizar conceitos de matrizes de projeção e multiplicação de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma projeção ortogonal. A projeção de um vetor em relação a um subespaço é o “ponto mais próximo” desse vetor no subespaço. No caso, estamos lidando com projeções no eixo
e na reta
.
Passo 3
Vamos começar encontrando a matriz de projeção no eixo
. No plano, qualquer vetor
projetado no eixo
resulta em
. A matriz de projeção
é então:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a matriz de projeção na reta
. Para isso, lembramos que a projeção de um vetor
na reta
resulta em
. Portanto, a matriz de projeção
é:
Passo 5
Agora, queremos compor essas duas projeções. A composição de projeções
significa aplicar primeiro
e depois
. Para encontrar a matriz resultante, multiplicamos
por
:
Passo 6
Vamos também calcular na ordem inversa, ou seja,
. Multiplicamos
por
:
Passo 7
Comparando as duas matrizes resultantes:
Podemos ver que elas são diferentes.
Resposta
A matriz que representa a composição das projeções ortogonais é:
Portanto, a ordem da composição importa neste caso.