Encontre a matriz que representa a composição das projeções ortogonais com relação ao eixo x e ao eixo x=y. A ordem da composição importa neste caso?

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Álgebra Linear que envolve projeções ortogonais. Precisamos encontrar a matriz que representa a composição das projeções ortogonais em relação ao eixo e à reta . Além disso, vamos verificar se a ordem dessas projeções importa. Para isso, vamos utilizar conceitos de matrizes de projeção e multiplicação de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma projeção ortogonal. A projeção de um vetor em relação a um subespaço é o “ponto mais próximo” desse vetor no subespaço. No caso, estamos lidando com projeções no eixo e na reta .

Passo 3

Vamos começar encontrando a matriz de projeção no eixo x y . No plano, qualquer vetor x 0 projetado no eixo Px = 1 & 0 0 & 0 resulta em . A matriz de projeção é então:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a matriz de projeção na reta x y . Para isso, lembramos que a projeção de um vetor 1 1 na reta Px=y = 12 1 & 1 1 & 1 resulta em . Portanto, a matriz de projeção é:

Passo 5

Agora, queremos compor essas duas projeções. A composição de projeções Px=y cdot Px = 12 1 & 1 1 & 1 cdot 1 & 0 0 & 0 = 12 1 & 0 1 & 0 = 12 & 0 12 & 0 significa aplicar primeiro e depois . Para encontrar a matriz resultante, multiplicamos por :

Passo 6

Vamos também calcular na ordem inversa, ou seja, Px cdot Px=y = 1 & 0 0 & 0 cdot 12 1 & 1 1 & 1 = 12 1 & 1 0 & 0 = 12 & 12 0 & 0 . Multiplicamos por :

Passo 7

Comparando as duas matrizes resultantes:
Px=y cdot Px = 12 & 0 12 & 0 e Px cdot Px=y = 12 & 12 0 & 0
Podemos ver que elas são diferentes.

Resposta

A matriz que representa a composição das projeções ortogonais é:
Px=y cdot Px = 12 & 0 12 & 0 e Px cdot Px=y = 12 & 12 0 & 0
Portanto, a ordem da composição importa neste caso.

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