Qual o valor de alpha para que os vetores a=alpha i+5 j-4 k e b=(alpha+1) i+2 j+4 k sejam ortogonais?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos o valor de que faz com que os vetores e sejam ortogonais. Estamos no assunto de vetores e, mais especificamente, com o conceito de vetores ortogonais.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que dois vetores são ortogonais quando o produto interno (ou produto escalar) entre eles é igual a zero. O produto interno de a cdot b = 0 e é dado por:

Passo 3

Vamos calcular o produto interno passo a passo. O produto escalar de dois vetores a cdot b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 e a cdot b = (alpha)(alpha + 1) + (5)(2) + (-4)(4) é:
Aplicando isso aos nossos vetores:

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação resultante para alpha(alpha + 1) + 10 - 16 = 0 :
alpha^2 + alpha + 10 - 16 = 0
Simplificando:
alpha^2 + alpha - 6 = 0
alpha = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
De
Aqui, alpha = -1 pm raiz252 = -1 pm 52 , alpha = -1 + 52 = 2 ou alpha = -1 - 52 = -3 , e . Calculando o discriminante:
Então:
Isso nos dá duas soluções:

Resposta

Os valores de que fazem os vetores e serem ortogonais são ou .

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