No triângulo equilátero A B C, sejam M e N os pontos médios dos lados A B e B C, respectivamente. Mostre que MBN também é um triângulo equilátero.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um triângulo equilátero , e os pontos e são os meios dos lados e , respectivamente. A tarefa é mostrar que o triângulo formado por , e também é equilátero. Vamos usar conceitos básicos de geometria, como propriedades de triângulos equiláteros e a definição de ponto médio, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, lembra que um triângulo equilátero tem todos os lados iguais e todos os ângulos medindo . Como e são pontos médios, eles dividem os lados e em duas partes iguais.

Passo 3

Vamos considerar o comprimento de cada lado do triângulo como . Então, e .

Passo 4

Agora, vamos olhar para o triângulo . Queremos mostrar que todos os lados desse triângulo são iguais.

Passo 5

Primeiro, vejamos o lado . Já sabemos que .

Passo 6

O lado também é , pela definição de ponto médio.

Passo 7

Para o lado , podemos usar a fórmula da distância entre dois pontos no plano ou perceber que em um triângulo equilátero, a linha que conecta os pontos médios é paralela ao terceiro lado e mede metade dele. Assim, .

Passo 8

Então, os três lados do triângulo são iguais a .

Passo 9

Como todos os lados são iguais e os ângulos correspondentes em triângulos equiláteros também são iguais, concluímos que é um triângulo equilátero.

Resposta

O triângulo é equilátero porque todos os seus lados medem e todos os ângulos são iguais a .

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