No triângulo equilátero
, sejam
e
os pontos médios dos lados
e
, respectivamente. Mostre que MBN também é um triângulo equilátero.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um triângulo equilátero
, e os pontos
e
são os meios dos lados
e
, respectivamente. A tarefa é mostrar que o triângulo formado por
,
e
também é equilátero. Vamos usar conceitos básicos de geometria, como propriedades de triângulos equiláteros e a definição de ponto médio, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, lembra que um triângulo equilátero tem todos os lados iguais e todos os ângulos medindo
. Como
e
são pontos médios, eles dividem os lados
e
em duas partes iguais.
Passo 3
Vamos considerar o comprimento de cada lado do triângulo
como
. Então,
e
.
Passo 4
Agora, vamos olhar para o triângulo
. Queremos mostrar que todos os lados desse triângulo são iguais.
Passo 5
Primeiro, vejamos o lado
. Já sabemos que
.
Passo 6
O lado
também é
, pela definição de ponto médio.
Passo 7
Para o lado
, podemos usar a fórmula da distância entre dois pontos no plano ou perceber que em um triângulo equilátero, a linha que conecta os pontos médios é paralela ao terceiro lado e mede metade dele. Assim,
.
Passo 8
Então, os três lados do triângulo
são iguais a
.
Passo 9
Como todos os lados são iguais e os ângulos correspondentes em triângulos equiláteros também são iguais, concluímos que
é um triângulo equilátero.
Resposta
O triângulo
é equilátero porque todos os seus lados medem
e todos os ângulos são iguais a
.