Seja W o subespaço vetorial de R^4 determinado pelas soluções do sistema linear A x=0 onde
A=(llll 3 & 0 & -1 & -1 0 & 1 & -1 & -2 )
Determine uma base ortogonal de W e uma base de W^perp.

Passo 1

Então, temos um problema de álgebra linear onde precisamos encontrar bases específicas para certos subespaços vetoriais. O enunciado nos dá uma matriz e define como o conjunto de todas as soluções do sistema linear em . Nosso objetivo é:
  1. Encontrar uma base ortogonal para .
  2. Encontrar uma base para o complemento ortogonal de , denotado por .
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como sistemas lineares, subespaços vetoriais, bases, e complementos ortogonais.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver o sistema A = 3 & 0 & -1 & -1 0 & 1 & -1 & -2 para encontrar a descrição do subespaço 3x1 - x3 - x4 = 0 x2 - x3 - 2x4 = 0 . A matriz é:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver este sistema para expressar algumas variáveis em termos das outras.

Passo 3

Vamos expressar 3x1 = x3 + x4 implies x1 = x3 + x43 e x2 = x3 + 2x4 em termos de x = x3 + x43 x3 + 2x4 x3 x4 = x3 13 1 1 0 + x4 13 2 0 1 e :
  1. Da primeira equação:
  1. Da segunda equação:
Agora, podemos escrever o vetor solução como:

Passo 4

Dessa forma, uma base para v1 = 13 1 1 0 , v2 = 13 2 0 1 é formada pelos vetores:
Mas queremos uma base ortogonal. Para isso, vamos utilizar o processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt.

Passo 5

Aplicando o processo de Gram-Schmidt:
  1. Primeiro, mantemos proju1 v2 = v2 cdot u1u1 cdot u1 u1 .
  2. Depois, calculamos v2 cdot u1 = 13 cdot 13 + 2 cdot 1 + 0 cdot 1 + 1 cdot 0 = 19 + 2 = 199 , onde a projeção é dada por:
u1 cdot u1 = (13)^2 + 1^2 + 1^2 + 0^2 = 19 + 1 + 1 = 199
Calculando os produtos escalares:
proju1 v2 = 199199 u1 = u1
u2 = v2 - u1 = 13 2 0 1 - 13 1 1 0 = 0 1 -1 1
Portanto,
Então,

Passo 6

Agora, temos nossa base ortogonal para u1 = 13 1 1 0 , u2 = 0 1 -1 1 :
Cada vetor está perpendicular ao outro, ou seja, .

Passo 7

Para encontrar uma base para w1 = 3 0 -1 -1 , w2 = 0 1 -1 -2 , lembramos que é o conjunto de todos os vetores que são ortogonais a todos os vetores de . Uma forma prática de encontrar é observar que ele é o espaço gerado pelas linhas da matriz .
Então, é gerado pelos vetores:
Esses vetores são linearmente independentes e formam uma base para .

Resposta

Uma base ortogonal para 13 1 1 0 e 0 1 -1 1 é formada pelos vetores
3 0 -1 -1 e 0 1 -1 -2
e uma base para é composta pelos vetores

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