Seja o subespaço vetorial de determinado pelas soluções do sistema linear onde
Determine uma base ortogonal de e uma base de .
Passo 1
Então, temos um problema de álgebra linear onde precisamos encontrar bases específicas para certos subespaços vetoriais. O enunciado nos dá uma matriz e define como o conjunto de todas as soluções do sistema linear em . Nosso objetivo é:
Encontrar uma base ortogonal para .
Encontrar uma base para o complemento ortogonal de , denotado por .
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como sistemas lineares, subespaços vetoriais, bases, e complementos ortogonais.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver o sistema para encontrar a descrição do subespaço . A matriz é:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver este sistema para expressar algumas variáveis em termos das outras.
Passo 3
Vamos expressar e em termos de e :
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Agora, podemos escrever o vetor solução como:
Passo 4
Dessa forma, uma base para v1 = 13 1 1 0 , v2 = 13 2 0 1 é formada pelos vetores:
Mas queremos uma base ortogonal. Para isso, vamos utilizar o processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt.
Agora, temos nossa base ortogonal para u1 = 13 1 1 0 , u2 = 0 1 -1 1 :
Cada vetor está perpendicular ao outro, ou seja, .
Passo 7
Para encontrar uma base para w1 = 3 0 -1 -1 , w2 = 0 1 -1 -2 , lembramos que é o conjunto de todos os vetores que são ortogonais a todos os vetores de . Uma forma prática de encontrar é observar que ele é o espaço gerado pelas linhas da matriz .
Então, é gerado pelos vetores:
Esses vetores são linearmente independentes e formam uma base para .
Resposta
Uma base ortogonal para 13 1 1 0 e 0 1 -1 1 é formada pelos vetores