Encontre uma matriz com autovalores 1 e 4 e autovetores e , respectivamente. Dica: use a fatoração .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar uma matriz que tem os autovalores 1 e 4, com os autovetores correspondentes e . O conteúdo aqui envolve autovalores, autovetores e a fatoração de uma matriz usando .

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz com os autovetores como colunas. Isso fica assim:

Passo 3

Agora, a matriz é a matriz diagonal com os autovalores na diagonal principal:

Passo 4

Precisamos encontrar a inversa de , ou seja, . Para uma matriz , a inversa é dada por:
Onde . Calculando o determinante de :
Então,

Passo 5

Agora, vamos calcular :
Agora, multiplicamos esse resultado por :

Resposta

A matriz procurada é:

Exercícios relacionados

Fatore as matrizes abaixo como , onde é não-singular e é diagonal.
(d)
Seja tal que , com e . e injetora? é sobrejetora? Justifique.
Seja uma matriz diagonalizável com autovalores iguais a 1 ou -1 . Mostre que é não-singular e que . Dica: use a fatoração para concluir que .
Mostre que a matriz
não é diagonalizável.