Encontre uma matriz 2 times 2 com autovalores 1 e 4 e autovetores (3,1) e (2,1), respectivamente. Dica: use a fatoração X Lambda X^-1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar uma matriz que tem os autovalores 1 e 4, com os autovetores correspondentes e . O conteúdo aqui envolve autovalores, autovetores e a fatoração de uma matriz usando .

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz X = 3 & 2 1 & 1 com os autovetores como colunas. Isso fica assim:

Passo 3

Agora, a matriz Lambda = 1 & 0 0 & 4 é a matriz diagonal com os autovalores na diagonal principal:

Passo 4

Precisamos encontrar a inversa de X^-1 = 1det(X) d & -b -c & a , ou seja, a & b c & d . Para uma matriz det(X) = (3)(1) - (2)(1) = 3 - 2 = 1 , a inversa é dada por:
X^-1 = 1 & -2 -1 & 3
Onde . Calculando o determinante de :
Então,

Passo 5

Agora, vamos calcular X Lambda = 3 & 2 1 & 1 1 & 0 0 & 4 = 3 times 1 + 2 times 0 & 3 times 0 + 2 times 4 1 times 1 + 1 times 0 & 1 times 0 + 1 times 4 = 3 & 8 1 & 4 :
A = X Lambda X^-1 = 3 & 8 1 & 4 1 & -2 -1 & 3 = 3 times 1 + 8 times (-1) & 3 times (-2) + 8 times 3 1 times 1 + 4 times (-1) & 1 times (-2) + 4 times 3 = 3 - 8 & -6 + 24 1 - 4 & -2 + 12 = -5 & 18 -3 & 10
Agora, multiplicamos esse resultado por :

Resposta

A matriz procurada é:
A = -5 & 18 -3 & 10

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