Encontre uma matriz
com autovalores 1 e 4 e autovetores
e
, respectivamente. Dica: use a fatoração
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar uma matriz
que tem os autovalores 1 e 4, com os autovetores correspondentes
e
. O conteúdo aqui envolve autovalores, autovetores e a fatoração de uma matriz usando
.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz
com os autovetores como colunas. Isso fica assim:
Passo 3
Agora, a matriz
é a matriz diagonal com os autovalores na diagonal principal:
Passo 4
Precisamos encontrar a inversa de
, ou seja,
. Para uma matriz
, a inversa é dada por:
Onde
. Calculando o determinante de
:
Então,
Passo 5
Agora, vamos calcular
:
Agora, multiplicamos esse resultado por
:
Resposta
A matriz procurada é: