Fatore as matrizes abaixo como , onde é não-singular e é diagonal.
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa fatorar a matriz como , onde é uma matriz não-singular (ou seja, tem inversa) e é uma matriz diagonal. Isso envolve encontrar os autovalores e autovetores de . Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como determinantes e sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores de . Os autovalores são os valores de que satisfazem a equação característica:
Onde é a matriz identidade.
Passo 3
Calculando :
O determinante dessa matriz é:
Simplificando:
Depois de resolver essa equação, encontramos os autovalores:
Passo 4
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para cada , resolvemos , onde é o autovetor.
Para :
Resolvendo, encontramos um autovetor .
Para :
Resolvendo, encontramos um autovetor .
Para :
Resolvendo, encontramos um autovetor .
Passo 5
Com os autovetores encontrados, montamos a matriz colocando esses vetores como colunas:
E a matriz será a matriz diagonal com os autovalores na diagonal: