Fatore as matrizes abaixo como , onde é não-singular e é diagonal.
(d)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa fatorar a matriz como , onde é uma matriz não-singular (ou seja, tem inversa) e é uma matriz diagonal. Isso envolve encontrar os autovalores e autovetores de . Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como determinantes e sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores de . Os autovalores são os valores de que satisfazem a equação característica:
Onde é a matriz identidade.

Passo 3

Calculando :
O determinante dessa matriz é:
Simplificando:
Depois de resolver essa equação, encontramos os autovalores:

Passo 4

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para cada , resolvemos , onde é o autovetor.
Para :
Resolvendo, encontramos um autovetor .
Para :
Resolvendo, encontramos um autovetor .
Para :
Resolvendo, encontramos um autovetor .

Passo 5

Com os autovetores encontrados, montamos a matriz colocando esses vetores como colunas:
E a matriz será a matriz diagonal com os autovalores na diagonal:

Resposta

A fatoração da matriz é:
Onde:

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Seja tal que , com e . e injetora? é sobrejetora? Justifique.
Fatore as matrizes abaixo como , onde é não-singular e é diagonal.
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Encontre uma matriz com autovalores 1 e 4 e autovetores e , respectivamente. Dica: use a fatoração .
Seja uma matriz diagonalizável com autovalores iguais a 1 ou -1 . Mostre que é não-singular e que . Dica: use a fatoração para concluir que .