Fatore as matrizes abaixo como A=X Lambda X^-1, onde X é não-singular e Lambda é diagonal.
(d) A=[lll1 & 2 & -1 2 & 4 & -2 0 & 0 & -3]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa fatorar a matriz como , onde é uma matriz não-singular (ou seja, tem inversa) e é uma matriz diagonal. Isso envolve encontrar os autovalores e autovetores de . Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como determinantes e sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores de det(A - lambda I) = 0 . Os autovalores são os valores de que satisfazem a equação característica:
Onde é a matriz identidade.

Passo 3

Calculando A - lambda I = 1-lambda & 2 & -1 2 & 4-lambda & -2 0 & 0 & -3-lambda :
det(A - lambda I) = (1-lambda)(4-lambda)(-3-lambda) - 2 cdot 2 cdot (-3-lambda)
O determinante dessa matriz é:
(1-lambda)(4-lambda)(-3-lambda) + 4(-3-lambda) = 0
Simplificando:
lambda1 = 0, lambda2 = 5, lambda3 = -3
Depois de resolver essa equação, encontramos os autovalores:

Passo 4

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para cada A v = 0 , resolvemos (A - 5I)v = 0 , onde (A + 3I)v = 0 é o autovetor.
Para :
Resolvendo, encontramos um autovetor .
Para :
Resolvendo, encontramos um autovetor .
Para :
Resolvendo, encontramos um autovetor .

Passo 5

Com os autovetores X = | & | & | v1 & v2 & v3 | & | & | encontrados, montamos a matriz Lambda = 0 & 0 & 0 0 & 5 & 0 0 & 0 & -3 colocando esses vetores como colunas:
E a matriz será a matriz diagonal com os autovalores na diagonal:

Resposta

A fatoração da matriz A = X Lambda X^-1 é:
X = 1 & 1 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 1 , Lambda = 0 & 0 & 0 0 & 5 & 0 0 & 0 & -3
Onde:

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