Fatore as matrizes abaixo como , onde é não-singular e é diagonal.
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa fatorar a matriz como , onde é uma matriz não-singular (ou seja, tem inversa) e é uma matriz diagonal. Isso envolve encontrar os autovalores e autovetores de . Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como determinantes e sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores de det(A - lambda I) = 0 . Os autovalores são os valores de que satisfazem a equação característica:
Depois de resolver essa equação, encontramos os autovalores:
Passo 4
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para cada A v = 0 , resolvemos (A - 5I)v = 0 , onde (A + 3I)v = 0 é o autovetor.
Para :
Resolvendo, encontramos um autovetor .
Para :
Resolvendo, encontramos um autovetor .
Para :
Resolvendo, encontramos um autovetor .
Passo 5
Com os autovetores X = | & | & | v1 & v2 & v3 | & | & | encontrados, montamos a matriz Lambda = 0 & 0 & 0 0 & 5 & 0 0 & 0 & -3 colocando esses vetores como colunas:
E a matriz será a matriz diagonal com os autovalores na diagonal: