Seja
tal que
, com
e
.
e injetora?
é sobrejetora? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta uma transformação linear
e pede para sabermos se ela é injetora e/ou sobrejetora. Para resolver isso, vamos usar conceitos de dimensão de espaços vetoriais e rank da matriz da transformação. Vamos precisar entender como a matriz
está representada e como isso nos ajuda a determinar a injetividade e sobrejetividade de
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma transformação linear e como representá-la com uma matriz. Uma transformação linear
pode ser representada por uma matriz que transforma vetores de um espaço para outro. Neste caso, a matriz dada é:
Essa matriz tem 2 linhas e 3 colunas, o que indica que estamos mapeando de um espaço de dimensão 3 para um de dimensão 2, mas a transformação
foi definida de
para
. Parece haver uma confusão nas dimensões, então vamos assumir que há um erro tipográfico e que realmente estamos trabalhando com
.
Passo 3
Agora, para determinar se
é injetora, precisamos verificar se o núcleo (o conjunto de vetores que
envia para o vetor zero) contém apenas o vetor zero. Se isso for verdade, a transformação é injetora.
Para isso, calculamos o rank da matriz
. O rank é o número máximo de colunas (ou linhas) linearmente independentes na matriz.
Passo 4
Vamos calcular o rank da matriz:
Podemos fazer isso simplificando a matriz. Adicionando a primeira linha à segunda:
Agora, as duas linhas são claramente linearmente independentes, então o rank da matriz é 2.
Passo 5
Sabemos que a dimensão do domínio de
é 3 (já que
) e o rank é 2. Pela Teoria da Dimensão:
Então:
Como o núcleo não contém apenas o vetor zero,
não é injetora.
Passo 6
Agora, para verificar se
é sobrejetora, precisamos ver se o seu imagem cobre todo o espaço de chegada, que neste caso é
.
Como o rank da matriz
é 2 e a dimensão do espaço de chegada
também é 2, a imagem de
tem dimensão 2, o que significa que
realmente cobre todo
.
Resposta
A transformação
não é injetora porque seu núcleo contém mais do que apenas o vetor zero. Contudo,
é sobrejetora já que sua imagem cobre todo o espaço
.