Seja T: R^2 R^3 tal que [T]B1 B2=[ccc1 & 0 & -1 -1 & 1 & 1], com B1=(0,1,1),(1,0,0),(1,0,1) e B2= (-1,0),(0,-1). T e injetora? T é sobrejetora? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta uma transformação linear e pede para sabermos se ela é injetora e/ou sobrejetora. Para resolver isso, vamos usar conceitos de dimensão de espaços vetoriais e rank da matriz da transformação. Vamos precisar entender como a matriz está representada e como isso nos ajuda a determinar a injetividade e sobrejetividade de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma transformação linear e como representá-la com uma matriz. Uma transformação linear [T]B1 B2 = 1 & 0 & -1 -1 & 1 & 1 pode ser representada por uma matriz que transforma vetores de um espaço para outro. Neste caso, a matriz dada é:
Essa matriz tem 2 linhas e 3 colunas, o que indica que estamos mapeando de um espaço de dimensão 3 para um de dimensão 2, mas a transformação foi definida de para . Parece haver uma confusão nas dimensões, então vamos assumir que há um erro tipográfico e que realmente estamos trabalhando com .

Passo 3

Agora, para determinar se é injetora, precisamos verificar se o núcleo (o conjunto de vetores que envia para o vetor zero) contém apenas o vetor zero. Se isso for verdade, a transformação é injetora.
Para isso, calculamos o rank da matriz . O rank é o número máximo de colunas (ou linhas) linearmente independentes na matriz.

Passo 4

Vamos calcular o rank da matriz:
1 & 0 & -1 -1 & 1 & 1
Podemos fazer isso simplificando a matriz. Adicionando a primeira linha à segunda:
1 & 0 & -1 0 & 1 & 0
Agora, as duas linhas são claramente linearmente independentes, então o rank da matriz é 2.

Passo 5

Sabemos que a dimensão do domínio de dim(Domínio) = rank + dim(Núc<=o) é 3 (já que 3 = 2 + dim(Núc<=o) ) e o rank é 2. Pela Teoria da Dimensão:
dim(Núc<=o) = 1 íú
Então:
ú
ú
Como o núcleo não contém apenas o vetor zero, não é injetora.

Passo 6

Agora, para verificar se é sobrejetora, precisamos ver se o seu imagem cobre todo o espaço de chegada, que neste caso é .
Como o rank da matriz é 2 e a dimensão do espaço de chegada também é 2, a imagem de tem dimensão 2, o que significa que realmente cobre todo .

Resposta

A transformação não é injetora porque seu núcleo contém mais do que apenas o vetor zero. Contudo, é sobrejetora já que sua imagem cobre todo o espaço .

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