Seja tal que , com e . e injetora? é sobrejetora? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta uma transformação linear e pede para sabermos se ela é injetora e/ou sobrejetora. Para resolver isso, vamos usar conceitos de dimensão de espaços vetoriais e rank da matriz da transformação. Vamos precisar entender como a matriz está representada e como isso nos ajuda a determinar a injetividade e sobrejetividade de .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma transformação linear e como representá-la com uma matriz. Uma transformação linear pode ser representada por uma matriz que transforma vetores de um espaço para outro. Neste caso, a matriz dada é:
Essa matriz tem 2 linhas e 3 colunas, o que indica que estamos mapeando de um espaço de dimensão 3 para um de dimensão 2, mas a transformação foi definida de para . Parece haver uma confusão nas dimensões, então vamos assumir que há um erro tipográfico e que realmente estamos trabalhando com .
Passo 3
Agora, para determinar se é injetora, precisamos verificar se o núcleo (o conjunto de vetores que envia para o vetor zero) contém apenas o vetor zero. Se isso for verdade, a transformação é injetora.
Para isso, calculamos o rank da matriz . O rank é o número máximo de colunas (ou linhas) linearmente independentes na matriz.
Passo 4
Vamos calcular o rank da matriz:
Podemos fazer isso simplificando a matriz. Adicionando a primeira linha à segunda:
Agora, as duas linhas são claramente linearmente independentes, então o rank da matriz é 2.
Passo 5
Sabemos que a dimensão do domínio de é 3 (já que ) e o rank é 2. Pela Teoria da Dimensão:
Então:
Como o núcleo não contém apenas o vetor zero, não é injetora.
Passo 6
Agora, para verificar se é sobrejetora, precisamos ver se o seu imagem cobre todo o espaço de chegada, que neste caso é .
Como o rank da matriz é 2 e a dimensão do espaço de chegada também é 2, a imagem de tem dimensão 2, o que significa que realmente cobre todo .
Resposta
A transformação não é injetora porque seu núcleo contém mais do que apenas o vetor zero. Contudo, é sobrejetora já que sua imagem cobre todo o espaço .