Encontre a matriz da transformação linear em relação ás bases canônicas dos espaços envolvidos.
T: R^2 R^3, T(x, y)=(-x, y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos a matriz da transformação linear em relação às bases canônicas. Isso significa que vamos descobrir como a transformação se comporta quando aplicamos aos vetores padrão de . Para isso, precisamos usar os conceitos de matrizes de transformação e bases canônicas.

Passo 2

Primeiro, lembre-se que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz quando trabalhamos com bases canônicas. As bases canônicas de são e . Vamos aplicar a cada uma dessas bases para construir a matriz.

Passo 3

Vamos aplicar T(1, 0) = (-1, 0) ao primeiro vetor base T(1, 0) = (-1, 0, 0) :
Como mapeia de para , precisamos adicionar uma terceira coordenada, que fica zero:

Passo 4

Agora, aplicamos T(0, 1) = (0, 1) ao segundo vetor base T(0, 1) = (0, 1, 0) :
Novamente, adicionamos a terceira coordenada zero:

Passo 5

Com os resultados das aplicações de A = -1 & 0 0 & 1 0 & 0 nos vetores da base, podemos construir a matriz de transformação. Cada coluna da matriz corresponde à imagem dos vetores base sob :

Resposta

A matriz da transformação linear -1 & 0 0 & 1 0 & 0 em relação às bases canônicas é:

Exercícios relacionados

Seja T: R^2 R^3 dada por T(x, y)=(2 x+y, y-x, 3 x) e considere as bases B=(1,2),(2,-1) e B^prime=(1,1,1),(0,1,1),(0,0,1). Encontre a matriz que representa T em relação às bases B e B^prime. Sendo [u]B=(3,-1), use a matriz para encontrar [T(u)]B^prime, e use isso para dizer quem é T(u).
No triângulo equilátero A B C, sejam M e N os pontos médios dos lados A B e B C, respectivamente. Mostre que MBN também é um triângulo equilátero.
Encontre a matriz da transformação linear em relação ás bases canônicas dos espaços envolvidos.
T: R^3 R^3, T(x, y, z)=(2 x+y, 3 z-x, 2 y-x).
Seja A e B matrizes, no qual, A=(ll1 & 1 0 & 0) e B=(cc1 & 0 -1 & 0). Mostre que o produto será a matriz nula (A cdot B=0).