Encontre a matriz da transformação linear em relação ás bases canônicas dos espaços envolvidos.
T: R^2 R^3, T(x, y)=(-x, y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos a matriz da transformação linear em relação às bases canônicas. Isso significa que vamos descobrir como a transformação se comporta quando aplicamos aos vetores padrão de . Para isso, precisamos usar os conceitos de matrizes de transformação e bases canônicas.

Passo 2

Primeiro, lembre-se que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz quando trabalhamos com bases canônicas. As bases canônicas de são e . Vamos aplicar a cada uma dessas bases para construir a matriz.

Passo 3

Vamos aplicar T(1, 0) = (-1, 0) ao primeiro vetor base T(1, 0) = (-1, 0, 0) :
Como mapeia de para , precisamos adicionar uma terceira coordenada, que fica zero:

Passo 4

Agora, aplicamos T(0, 1) = (0, 1) ao segundo vetor base T(0, 1) = (0, 1, 0) :
Novamente, adicionamos a terceira coordenada zero:

Passo 5

Com os resultados das aplicações de A = -1 & 0 0 & 1 0 & 0 nos vetores da base, podemos construir a matriz de transformação. Cada coluna da matriz corresponde à imagem dos vetores base sob :

Resposta

A matriz da transformação linear -1 & 0 0 & 1 0 & 0 em relação às bases canônicas é:

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