Seja dada por e considere as bases e . Encontre a matriz que representa em relação às bases e . Sendo , use a matriz para encontrar , e use isso para dizer quem é .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente trabalhar com uma transformação linear que vai de para . A transformação está definida por . Temos também duas bases diferentes: uma para chamada e outra para chamada . Precisamos descobrir a matriz que representa nessas bases específicas e, depois, usar essa matriz para encontrar a imagem de um vetor que, na base , é representado por .
Passo 2
Primeiro, vamos entender que representação matricial de uma transformação linear em bases diferentes é uma forma de ver como a transformação age nos vetores dessa base específica. Para isso, a gente vai precisar aplicar aos vetores da base e depois expressar os resultados na base . Isso vai nos dar as colunas da matriz que representa nessas bases.
Passo 3
Vamos começar aplicando aos vetores da base . Nossa base tem dois vetores: e .
Calculando :
Calculando :
Passo 4
Agora, precisamos expressar esses resultados ( e ) na base . Isso significa encontrar coeficientes tais que:
Vamos resolver esses sistemas para encontrar os coeficientes.