Seja T: R^2 R^3 dada por T(x, y)=(2 x+y, y-x, 3 x) e considere as bases B=(1,2),(2,-1) e B^prime=(1,1,1),(0,1,1),(0,0,1). Encontre a matriz que representa T em relação às bases B e B^prime. Sendo [u]B=(3,-1), use a matriz para encontrar [T(u)]B^prime, e use isso para dizer quem é T(u).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente trabalhar com uma transformação linear que vai de para . A transformação está definida por . Temos também duas bases diferentes: uma para chamada e outra para chamada . Precisamos descobrir a matriz que representa nessas bases específicas e, depois, usar essa matriz para encontrar a imagem de um vetor que, na base , é representado por .

Passo 2

Primeiro, vamos entender que representação matricial de uma transformação linear em bases diferentes é uma forma de ver como a transformação age nos vetores dessa base específica. Para isso, a gente vai precisar aplicar aos vetores da base e depois expressar os resultados na base . Isso vai nos dar as colunas da matriz que representa nessas bases.

Passo 3

Vamos começar aplicando T(1, 2) = (2*1 + 2, 2 - 1, 3*1) = (4, 1, 3) aos vetores da base T(2, -1) = (2*2 + (-1), -1 - 2, 3*2) = (3, -3, 6) . Nossa base tem dois vetores: e .
Calculando :
Calculando :

Passo 4

Agora, precisamos expressar esses resultados ( T(b1) = c1(1,1,1) + c2(0,1,1) + c3(0,0,1) e T(b2) = d1(1,1,1) + d2(0,1,1) + d3(0,0,1) ) na base . Isso significa encontrar coeficientes tais que:
Vamos resolver esses sistemas para encontrar os coeficientes.

Passo 5

Para c1 = 4 c1 + c2 = 1 c1 + c2 + c3 = 3 :
Temos:
c1 = 4 4 + c2 = 1 Rightarrow c2 = -3 4 - 3 + c3 = 3 Rightarrow c3 = 2
Resolvendo:
d1 = 3 d1 + d2 = -3 d1 + d2 + d3 = 6
Então, d1 = 3 3 + d2 = -3 Rightarrow d2 = -6 3 - 6 + d3 = 6 Rightarrow d3 = 9 .
Para :
Temos:
Resolvendo:
Então, .

Passo 6

Agora, montamos a matriz que representa [T]B^B' = 4 & 3 -3 & -6 2 & 9 nas bases e . Essa matriz terá como colunas os vetores e .

Passo 7

Agora que temos a matriz, vamos usá-la para encontrar 3 -1 . Sabemos que [T(u)]B' = 4 & 3 -3 & -6 2 & 9 3 -1 = 4*3 + 3*(-1) -3*3 + (-6)*(-1) 2*3 + 9*(-1) = 12 - 3 -9 + 6 6 - 9 = 9 -3 -3 . Basta multiplicar a matriz por esse vetor:

Resposta

A matriz que representa a transformação [T]B^B' = 4 & 3 -3 & -6 2 & 9 em relação às bases 9 -3 -3 e T(u) = 9(1,1,1) + (-3)(0,1,1) + (-3)(0,0,1) = (9,9,9) + (0,-3,-3) + (0,0,-3) = (9,6,3) é:
Usando essa matriz, encontramos que . Para descobrir o vetor no espaço , usamos a base :
Então, .

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