Encontre os valores de a para que os vetores
(2 a, a) e(a-3,-a)
sejam linearmente dependentes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar os valores de que fazem com que os vetores e sejam linearmente dependentes. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre vetores e dependência linear. Para resolver, vamos precisar entender quando dois vetores são múltiplos um do outro.

Passo 2

Dois vetores no plano são linearmente dependentes se um for um múltiplo do outro. Ou seja, existe um número (2a, a) = k(a-3, -a) tal que:
Isso significa que cada componente dos vetores deve satisfazer essa igualdade.

Passo 3

Vamos igualar as componentes dos vetores:
2a = k(a - 3) e a = k(-a)
Vamos resolver a segunda equação para encontrar a = -k a implies k = -1 :

Passo 4

Agora que sabemos que 2a = -1(a - 3) implies 2a = -a + 3 , substituímos na primeira equação:
3a = 3 implies a = 1
Somando dos dois lados:

Passo 5

Outra forma de verificar é calculando o determinante formado pelos vetores. Se o determinante for zero, os vetores são linearmente dependentes.
Calculando o determinante:
2a & a-3 a & -a = (2a)(-a) - (a-3)(a) = -2a^2 - a^2 + 3a = -3a^2 + 3a
Igualando a zero:
-3a^2 + 3a = 0 implies -3a(a - 1) = 0
Portanto:
a = 0 ou a = 1

Resposta

Os valores de que tornam os vetores linearmente dependentes são e .

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