(2,0 pts)Determine: (a) As equações reduzidas, na variável x, da reta r1 que passa por A(2,0,0) e tem direção de v=(4,5,3).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar as equações reduzidas, na variável , da reta que passa pelo ponto e tem direção do vetor .
Para isso, precisamos entender que as equações reduzidas de uma reta no espaço são formas de representar a reta utilizando uma das variáveis como parâmetro, geralmente o . Vamos usar esse conceito para encontrar as equações desejadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma reta no espaço pode ser representada parametrizadamente por:
x = x0 + at y = y0 + bt z = z0 + ct
Onde x = 2 + 4t y = 0 + 5t z = 0 + 3t é um ponto por onde a reta passa e é o vetor diretor da reta.
No nosso caso, sabemos que a reta passa por e o vetor diretor é . Então, substituindo esses valores na parametrização, temos:

Passo 3

Queremos obter as equações reduzidas na variável t = x - 24 . Isso significa que vamos expressar e em termos de .
Primeiro, da primeira equação , isolamos :

Passo 4

Agora, substituímos esse valor de y = 5t = 5 ( x - 24 ) = 54(x - 2) nas equações de z = 3t = 3 ( x - 24 ) = 34(x - 2) e :
Para :
Para :

Resposta

As equações reduzidas, na variável y = 54(x - 2) e z = 34(x - 2) , da reta são:

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