(2,0 pts)Determine: (a) As equações reduzidas, na variável , da reta que passa por e tem direção de .
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar as equações reduzidas, na variável , da reta que passa pelo ponto e tem direção do vetor .
Para isso, precisamos entender que as equações reduzidas de uma reta no espaço são formas de representar a reta utilizando uma das variáveis como parâmetro, geralmente o . Vamos usar esse conceito para encontrar as equações desejadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma reta no espaço pode ser representada parametrizadamente por:
Onde x = 2 + 4t y = 0 + 5t z = 0 + 3t é um ponto por onde a reta passa e é o vetor diretor da reta.
No nosso caso, sabemos que a reta passa por e o vetor diretor é . Então, substituindo esses valores na parametrização, temos:
Passo 3
Queremos obter as equações reduzidas na variável t = x - 24 . Isso significa que vamos expressar e em termos de .
Primeiro, da primeira equação , isolamos :
Passo 4
Agora, substituímos esse valor de y = 5t = 5 ( x - 24 ) = 54(x - 2) nas equações de z = 3t = 3 ( x - 24 ) = 34(x - 2) e :
Para :
Para :
Resposta
As equações reduzidas, na variável y = 54(x - 2) e z = 34(x - 2) , da reta são: