Encontre matrizes não-nulas tais que

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos matrizes não-nulas tais que e . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre matrizes e suas propriedades. Para resolver, vamos precisar entender como matrizes podem ser iguais ou diferentes mesmo produzindo o mesmo resultado quando multiplicadas por outra matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar. Subtraindo de ambos os lados, temos:
Isso pode ser fatorado como:
Então, precisamos que a matriz multiplicada por dê a matriz nula.

Passo 3

Sabemos que , ou seja, não é a matriz nula. Portanto, queremos duas matrizes não-nulas e que, quando multiplicadas, resultem na matriz nula. Isso significa que é uma matriz que anula .

Passo 4

Para que , precisa estar no núcleo (espaço nulo) da transformação representada por . Isso implica que as colunas de são vetores que, quando multiplicados por , dão o vetor zero.

Passo 5

Vamos construir um exemplo simples. Suponha que todas as matrizes são 2x2. Vamos escolher como a matriz nula, mas isso não serve porque o exercício pede matrizes não-nulas. Então, precisamos de diferente de zero.

Passo 6

Vamos escolher como uma matriz que tem pelo menos uma coluna no núcleo de . Por exemplo, vamos definir:
Isso significa que a segunda coluna de é o vetor zero, que certamente está no núcleo.

Passo 7

Agora, vamos escolher de forma que multiplicado por dê zero. Tomemos:
Multiplicando por :
Ops, não deu zero! Precisamos ajustar.

Passo 8

Vamos tentar outro . Seja:
Mas isso implica , o que não queremos. Então, precisamos de não nulo e que .

Passo 9

Vamos tentar:
Multiplicando por :
Agora sim, deu a matriz nula!

Passo 10

Então, temos e . Para encontrar e , podemos escolher de qualquer forma e definir .
Por exemplo, escolhemos:
Então:

Resposta

Um exemplo de matrizes que satisfazem as condições é:
onde e .

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