Encontre matrizes não-nulas
tais que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos matrizes não-nulas
tais que
e
. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre matrizes e suas propriedades. Para resolver, vamos precisar entender como matrizes podem ser iguais ou diferentes mesmo produzindo o mesmo resultado quando multiplicadas por outra matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação
para facilitar. Subtraindo
de ambos os lados, temos:
Isso pode ser fatorado como:
Então, precisamos que a matriz
multiplicada por
dê a matriz nula.
Passo 3
Sabemos que
, ou seja,
não é a matriz nula. Portanto, queremos duas matrizes não-nulas
e
que, quando multiplicadas, resultem na matriz nula. Isso significa que
é uma matriz que anula
.
Passo 4
Para que
,
precisa estar no núcleo (espaço nulo) da transformação representada por
. Isso implica que as colunas de
são vetores que, quando multiplicados por
, dão o vetor zero.
Passo 5
Vamos construir um exemplo simples. Suponha que todas as matrizes são 2x2. Vamos escolher
como a matriz nula, mas isso não serve porque o exercício pede matrizes não-nulas. Então, precisamos de
diferente de zero.
Passo 6
Vamos escolher
como uma matriz que tem pelo menos uma coluna no núcleo de
. Por exemplo, vamos definir:
Isso significa que a segunda coluna de
é o vetor zero, que certamente está no núcleo.
Passo 7
Agora, vamos escolher
de forma que multiplicado por
dê zero. Tomemos:
Multiplicando por
:
Ops, não deu zero! Precisamos ajustar.
Passo 8
Vamos tentar outro
. Seja:
Mas isso implica
, o que não queremos. Então, precisamos de
não nulo e que
.
Passo 9
Vamos tentar:
Multiplicando por
:
Agora sim, deu a matriz nula!
Passo 10
Então, temos
e
. Para encontrar
e
, podemos escolher
de qualquer forma e definir
.
Por exemplo, escolhemos:
Então:
Resposta
Um exemplo de matrizes que satisfazem as condições é:
onde
e
.