Sobre f(x, y) = x^2 + y^2 - x - y + 3 na região D = {(x, y) em R^2 ; x^2 + y^2 <= 1}
© o máximo de f é menor que 4.

Passo 1

Vamos analisar o exercício que nos pede para determinar o máximo da função na região . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente a otimização de funções em regiões fechadas e limitadas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função completando o quadrado para facilitar a análise:
Simplificando:

Passo 3

Observamos que atinge seu valor mínimo quando é mínimo, ou seja, no ponto , onde .

Passo 4

Para encontrar o máximo de na região , precisamos verificar os pontos na fronteira da região, onde . Vamos parametrizar a fronteira usando coordenadas polares: e .
Substituindo na função:

Passo 5

Para maximizar , precisamos minimizar . Sabemos que varia entre e . O mínimo ocorre em , onde .

Passo 6

Substituindo o mínimo na expressão de :
á

Resposta

O máximo de na região é aproximadamente , que é maior que 4.

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