Encontre máximos e mínimos condicionados: encontre os pontos sobre a superfície
mais prossímios da origem.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de otimização com restrição. A questão pede para encontrar os pontos na superfície definida por
que estão mais próximos da origem. Para isso, vamos usar o conceito de otimização condicionada, que envolve encontrar mínimos ou máximos de uma função sob uma certa condição. Precisamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange para resolver esse problema.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que queremos minimizar a distância da origem aos pontos na superfície
. Como a distância
de um ponto
até a origem é dada por
, podemos simplificar o problema minimizando
. Isso facilita os cálculos sem alterar o ponto mínimo.
Passo 3
Agora, definimos nossa função objetivo
que queremos minimizar, e a restrição
. Usaremos os multiplicadores de Lagrange, que nos dizem que no ponto mínimo, o gradiente de
é igual a um múltiplo escalar (
) do gradiente de
.
Passo 4
Calculamos os gradientes:
Segundo os multiplicadores de Lagrange, temos:
Passo 5
Dividindo a primeira equação pela segunda, obtemos:
Isso nos leva a
.
De maneira similar, dividindo a segunda pela terceira:
Logo,
.
Passo 6
Sabemos que
e
, então todas as variáveis têm o mesmo valor absoluto. Vamos assumir que
. Substituindo na restrição
:
Portanto,
e
.
Considerando os diferentes sinais, temos também os pontos
.
Passo 7
Assim, os pontos na superfície
mais próximos da origem são
e
.
Resposta
Os pontos mais próximos da origem na superfície
são
e
.
Exercícios relacionados
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.
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.
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.
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.