Encontre máximos e mínimos condicionados: encontre os pontos sobre a superfície x y z = 1 mais prossímios da origem.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de otimização com restrição. A questão pede para encontrar os pontos na superfície definida por que estão mais próximos da origem. Para isso, vamos usar o conceito de otimização condicionada, que envolve encontrar mínimos ou máximos de uma função sob uma certa condição. Precisamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange para resolver esse problema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que queremos minimizar a distância da origem aos pontos na superfície . Como a distância de um ponto até a origem é dada por , podemos simplificar o problema minimizando . Isso facilita os cálculos sem alterar o ponto mínimo.

Passo 3

Agora, definimos nossa função objetivo que queremos minimizar, e a restrição . Usaremos os multiplicadores de Lagrange, que nos dizem que no ponto mínimo, o gradiente de é igual a um múltiplo escalar ( ) do gradiente de .

Passo 4

Calculamos os gradientes:
Segundo os multiplicadores de Lagrange, temos:

Passo 5

Dividindo a primeira equação pela segunda, obtemos:
Isso nos leva a .
De maneira similar, dividindo a segunda pela terceira:
Logo, .

Passo 6

Sabemos que e , então todas as variáveis têm o mesmo valor absoluto. Vamos assumir que . Substituindo na restrição :
Portanto, e .
Considerando os diferentes sinais, temos também os pontos .

Passo 7

Assim, os pontos na superfície mais próximos da origem são e .

Resposta

Os pontos mais próximos da origem na superfície são e .

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sumn=1^infty 1(3 n+1)^2.
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sumn=1^infty n+2n+n^3.
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