Use o teste do limite para determinar a convergência ou divergência das séries:
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma série infinita:
Queremos determinar se essa série converge ou diverge usando o Teste do Limite. Para isso, precisamos comparar com uma série conhecida cujo comportamento já sabemos.
Passo 2
Vamos simplificar a expressão da série para facilitar a comparação. Observando o denominador
, percebemos que para
grande, o termo
domina. Assim, podemos aproximar a série por:
Essa aproximação sugere que podemos comparar nossa série com a série
, que sabemos que converge (é uma série p com
).
Passo 3
Aplicamos o Teste do Limite de Comparação. Calculamos o limite do quociente entre os termos da nossa série e os termos da série de comparação:
Passo 4
Simplificamos a expressão do limite:
Passo 5
O limite
é um número finito diferente de zero. Segundo o Teste do Limite de Comparação, isso significa que ambas as séries, a original e a de comparação, têm o mesmo comportamento de convergência.
Passo 6
Sabemos que a série de comparação
converge. Portanto, pela conclusão do teste, a nossa série original também converge.
Resposta
A série
converge.
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