Use o teste do limite para determinar a convergência ou divergência das séries:
sumn=1^infty n+2n+n^3.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma série infinita:
sumn=1^infty n+2n+n^3
Queremos determinar se essa série converge ou diverge usando o Teste do Limite. Para isso, precisamos comparar com uma série conhecida cujo comportamento já sabemos.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão da série para facilitar a comparação. Observando o denominador n+2n+n^3 approx nn^3 = 1n^2 , percebemos que para grande, o termo domina. Assim, podemos aproximar a série por:
Essa aproximação sugere que podemos comparar nossa série com a série , que sabemos que converge (é uma série p com ).

Passo 3

Aplicamos o Teste do Limite de Comparação. Calculamos o limite do quociente entre os termos da nossa série e os termos da série de comparação:
L = limn to infty n+2n+n^31n^2 = limn to infty (n+2) cdot n^2n + n^3

Passo 4

Simplificamos a expressão do limite:
L = limn to infty n^3 + 2n^2n^3 + n = limn to infty n^3(1 + 2n)n^3(1 + 1n^2) = limn to infty 1 + 2n1 + 1n^2 = 1 + 01 + 0 = 1

Passo 5

O limite é um número finito diferente de zero. Segundo o Teste do Limite de Comparação, isso significa que ambas as séries, a original e a de comparação, têm o mesmo comportamento de convergência.

Passo 6

Sabemos que a série de comparação converge. Portanto, pela conclusão do teste, a nossa série original também converge.

Resposta

A série converge.

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