Verifique se cada uma das seguintes sequências a_n, n=1, infinito converge ou diverge. Se a sequência convergir, indique seu limite.
(l) a_n = (5 n^4 + 3 n^2 - 10) / (2 n^2 + sen(n))^2

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você enviou. Temos uma sequência definida por . Nosso objetivo aqui é descobrir se essa sequência converge ou diverge quando tende ao infinito. Para resolver isso, vamos precisar entender como o comportamento das funções polinomiais e das funções trigonométricas, como o seno, afeta o limite da sequência.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o numerador e o denominador separadamente para identificar quais termos predominam quando fica muito grande. No numerador, temos . Quando cresce, o termo com a maior potência de domina, ou seja, .

Passo 3

No denominador, temos . Aqui, é um termo quadrático, enquanto oscila entre -1 e 1, independente do valor de . Portanto, quando aumenta muito, é muito maior que , então podemos aproximar por .

Passo 4

Com essa aproximação, o denominador fica aproximadamente .

Passo 5

Agora, substituímos as aproximações de numerador e denominador na sequência original:
Isso significa que, à medida que cresce, a sequência se aproxima cada vez mais de .

Passo 6

Para confirmar rigorosamente isso, podemos calcular o limite da sequência quando tende ao infinito:
Isso mostra que a sequência realmente converge para .

Resposta

A sequência converge e o seu limite é .

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