Verifique se cada uma das seguintes sequências
converge ou diverge. Se a sequência convergir, indique seu limite.
(l)
(l)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você enviou. Temos uma sequência definida por
. Nosso objetivo aqui é descobrir se essa sequência converge ou diverge quando
tende ao infinito. Para resolver isso, vamos precisar entender como o comportamento das funções polinomiais e das funções trigonométricas, como o seno, afeta o limite da sequência.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o numerador e o denominador separadamente para identificar quais termos predominam quando
fica muito grande. No numerador, temos
. Quando
cresce, o termo com a maior potência de
domina, ou seja,
.
Passo 3
No denominador, temos
. Aqui,
é um termo quadrático, enquanto
oscila entre -1 e 1, independente do valor de
. Portanto, quando
aumenta muito,
é muito maior que
, então podemos aproximar
por
.
Passo 4
Com essa aproximação, o denominador
fica aproximadamente
.
Passo 5
Agora, substituímos as aproximações de numerador e denominador na sequência original:
Isso significa que, à medida que
cresce, a sequência se aproxima cada vez mais de
.
Passo 6
Para confirmar rigorosamente isso, podemos calcular o limite da sequência quando
tende ao infinito:
Isso mostra que a sequência realmente converge para
.
Resposta
A sequência
converge e o seu limite é
.