Encontre a medida da área da região : limitada pelas curvas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra gente encontrar a área da região limitada pelas curvas
e
. Aqui estamos trabalhando com Cálculo Integral, especificamente com o cálculo de áreas entre curvas. Vamos precisar identificar onde as curvas se cruzam e então integrar a diferença entre elas nessa região.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Para isso, igualamos as duas equações:
Vamos substituir
da primeira equação na segunda:
Agora, rearranjando a equação:
Isso nos dá duas soluções:
Agora, substituímos esses valores de
na primeira equação para encontrar
:
Para
:
Para
:
Então, os pontos de interseção são
e
.
Passo 3
Agora que sabemos onde as curvas se cruzam, vamos entender qual curva está acima da outra nesse intervalo de
a
.
Vamos escolher um valor de
entre 0 e 1, por exemplo,
:
Vemos que
nesse intervalo, então a curva
(ou
) está acima da curva
.
Passo 4
Para calcular a área entre as duas curvas, vamos integrar a diferença entre as funções superiores e inferiores de
a
.
A fórmula para a área
é:
No nosso caso:
Passo 5
Vamos calcular essa integral passo a passo.
Primeiro, integrando
:
Segundo, integrando
:
Então, a integral completa fica:
Passo 6
Agora, avaliamos a integral nos limites de 0 a 1:
Para
:
Para
:
Então, a área
é:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas
e
é
unidade de área.
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,o eixo x e as retas
e
.
Encontre a medida da área da região : limitada pela parábola
e a reta
.
Encontre a medida da área da região : limitada pelas curvas
e
.
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x, da região limitada pelas:
e
;