Encontre a medida da área da região : limitada pelas curvas e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra gente encontrar a área da região limitada pelas curvas e . Aqui estamos trabalhando com Cálculo Integral, especificamente com o cálculo de áreas entre curvas. Vamos precisar identificar onde as curvas se cruzam e então integrar a diferença entre elas nessa região.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Para isso, igualamos as duas equações:
Vamos substituir da primeira equação na segunda:
Agora, rearranjando a equação:
Isso nos dá duas soluções:
Agora, substituímos esses valores de na primeira equação para encontrar :
Para :
Para :
Então, os pontos de interseção são e .

Passo 3

Agora que sabemos onde as curvas se cruzam, vamos entender qual curva está acima da outra nesse intervalo de a .
Vamos escolher um valor de entre 0 e 1, por exemplo, :
Vemos que nesse intervalo, então a curva (ou ) está acima da curva .

Passo 4

Para calcular a área entre as duas curvas, vamos integrar a diferença entre as funções superiores e inferiores de a .
A fórmula para a área é:
çãçã
No nosso caso:

Passo 5

Vamos calcular essa integral passo a passo.
Primeiro, integrando :
Segundo, integrando :
Então, a integral completa fica:

Passo 6

Agora, avaliamos a integral nos limites de 0 a 1:
Para :
Para :
Então, a área é:

Resposta

A área da região limitada pelas curvas e é unidade de área.

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