Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x, da região limitada pelas: e ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra encontrar o volume de um sólido formado quando a região limitada pelas curvas e é girada em torno do eixo . Para isso, vamos usar o cálculo integral, mais especificamente o método dos discos (ou anéis), que é ótimo para calcular volumes de sólidos de rotação.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar onde as duas curvas se interceptam, porque esses pontos vão determinar os limites de integração. Vamos igualar :
Isso nos dá e . Então, a região que vamos girar está entre e .

Passo 3

Agora, para calcular o volume, usamos a fórmula do método dos discos:
Aqui, é a função de cima e é a função de baixo. Observando as curvas:
  • Para , está acima de .
Então, substituindo na fórmula:

Passo 4

Vamos calcular a integral:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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