Encontre a medida da área da região : limitada pela parábola ,o eixo x e as retas e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a área de uma região que está limitada pela parábola , pelo eixo x (que é a linha ), e pelas retas verticais e . Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente de integração para encontrar áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa essa região que queremos encontrar a área. A parábola vai cruzar o eixo x em alguns pontos, e as retas e nos dão os limites laterais dessa área.

Passo 3

Vamos encontrar os pontos onde a parábola intercepta o eixo x. Para isso, colocamos e resolvemos para :
Fatorando:
Então, e . Portanto, a parábola corta o eixo x nos pontos e .

Passo 4

Mas nosso intervalo de interesse é entre e . Vamos verificar os valores da parábola nesse intervalo para entender se a curva está acima ou abaixo do eixo x.
Para :
Como é negativo, a par��bola está abaixo do eixo x nesse intervalo.

Passo 5

Para achar a área entre a parábola e o eixo x de a , usamos a integral definida. A fórmula geral para a área entre uma curva e o eixo x de a é:
Á
Como a parábola está abaixo do eixo x, podemos tirar o valor absoluto ou simplesmente considerar a integral de .

Passo 6

Vamos configurar a integral:
Á

Passo 7

Agora, vamos integrar termo a termo:
Então, a antiderivada é:

Passo 8

Vamos calcular essa antiderivada de a :
Simplificando:

Resposta

A área da região limitada pela parábola , o eixo x e as retas e é unidades quadradas.

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Calcular as integrais abaixo:
Encontre a medida da área da região : limitada pelas curvas e .
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