Encontre a medida da área da região : limitada pela parábola
,o eixo x e as retas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a área de uma região que está limitada pela parábola
, pelo eixo x (que é a linha
), e pelas retas verticais
e
. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente de integração para encontrar áreas entre curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa essa região que queremos encontrar a área. A parábola
vai cruzar o eixo x em alguns pontos, e as retas
e
nos dão os limites laterais dessa área.
Passo 3
Vamos encontrar os pontos onde a parábola intercepta o eixo x. Para isso, colocamos
e resolvemos para
:
Fatorando:
Então,
e
. Portanto, a parábola corta o eixo x nos pontos
e
.
Passo 4
Mas nosso intervalo de interesse é entre
e
. Vamos verificar os valores da parábola nesse intervalo para entender se a curva está acima ou abaixo do eixo x.
Para
:
Como
é negativo, a par��bola está abaixo do eixo x nesse intervalo.
Passo 5
Para achar a área entre a parábola e o eixo x de
a
, usamos a integral definida. A fórmula geral para a área entre uma curva
e o eixo x de
a
é:
Como a parábola está abaixo do eixo x, podemos tirar o valor absoluto ou simplesmente considerar a integral de
.
Passo 6
Vamos configurar a integral:
Passo 7
Agora, vamos integrar termo a termo:
Então, a antiderivada é:
Passo 8
Vamos calcular essa antiderivada de
a
:
Simplificando:
Resposta
A área da região limitada pela parábola
, o eixo x e as retas
e
é
unidades quadradas.
Exercícios relacionados
Encontre a medida da área da região : limitada pela parábola
e a reta
.
Calcular as integrais abaixo:
Encontre a medida da área da região : limitada pelas curvas
e
.
Encontre a medida da área da região : limitada pelas curvas
e
.