Encontre a medida da área da região : limitada por e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região que está limitada pelas curvas e . Isso envolve um pouco de cálculo, especialmente usando integrais para calcular áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde essas duas curvas se encontram. Para isso, igualamos as duas equações:
Resolvendo isso:
Então, as curvas se intersectam nos pontos , e .

Passo 3

Agora, vamos identificar qual curva está acima da outra em cada intervalo. Vamos testar um valor dentro de cada intervalo:
  • Entre e , por exemplo, :
    Aqui, porque .
  • Entre e , por exemplo, :
    Aqui, porque .

Passo 4

Agora que sabemos qual curva está em cima em cada intervalo, podemos dividir a área total em duas partes e calcular cada uma separadamente.
A área entre e :
A área entre e :

Passo 5

Vamos calcular :

Passo 6

Agora, vamos calcular :

Passo 7

Agora, somamos as duas áreas para obter a área total da região limitada pelas duas curvas:

Resposta

A área da região limitada pelas curvas e é unidades quadradas.

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