Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x, da região limitada pelas:
e
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o volume do sólido formado ao girar a região limitada pelas curvas
e
ao redor do eixo
. Aqui, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente o método dos discos, para determinar esse volume.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender onde as duas curvas se intersectam para determinar os limites de integração. Vamos resolver a equação
.
Passo 3
Para resolver
, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 4
Agora, trazemos todos os termos para um lado da equação:
Fatorando
:
Passo 5
Resolvendo
:
Então, as curvas se intersectam em
e
.
Passo 6
Agora, vamos visualizar qual curva está acima da outra no intervalo [0,1]. Para isso, testamos um valor no intervalo, por exemplo,
:
Assim,
está acima de
nesse intervalo.
Passo 7
Usaremos o método dos discos para calcular o volume. A fórmula geral para o volume
ao girar em torno do eixo
é:
Onde
é a função de cima e
a de baixo.
Passo 8
Identificando as funções:
Os limites de integração são
e
.
Passo 9
Substituindo na fórmula do volume:
Passo 10
Calculando a integral:
Resposta
Portanto, o volume do sólido é:
Exercícios relacionados
Encontre a medida da área da região : limitada por
e
.
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x, da região limitada pelas:
e
;
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x, da região limitada pelas:
e
Encontre a equação cartesiana da curva
.