Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x, da região limitada pelas: e ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o volume do sólido formado ao girar a região limitada pelas curvas e ao redor do eixo . Aqui, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente o método dos discos, para determinar esse volume.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender onde as duas curvas se intersectam para determinar os limites de integração. Vamos resolver a equação .

Passo 3

Para resolver , vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:

Passo 4

Agora, trazemos todos os termos para um lado da equação:
Fatorando :

Passo 5

Resolvendo :
Então, as curvas se intersectam em e .

Passo 6

Agora, vamos visualizar qual curva está acima da outra no intervalo [0,1]. Para isso, testamos um valor no intervalo, por exemplo, :
Assim, está acima de nesse intervalo.

Passo 7

Usaremos o método dos discos para calcular o volume. A fórmula geral para o volume ao girar em torno do eixo é:
Onde é a função de cima e a de baixo.

Passo 8

Identificando as funções:
Os limites de integração são e .

Passo 9

Substituindo na fórmula do volume:

Passo 10

Calculando a integral:

Resposta

Portanto, o volume do sólido é:

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Encontre a medida da área da região : limitada por e .
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x, da região limitada pelas: e ;
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x, da região limitada pelas: e
Encontre a equação cartesiana da curva .