Seja o subespaço gerado pelos e escreva como uma soma de um vetor em e outro ortogonal em .
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A parada aqui é escrever o vetor y como a soma de um vetor que está no subespaço W (que é gerado pelos vetores u1, u2 e u3) e outro vetor que é ortogonal a W. Para isso, vamos precisar usar conceitos de projeção vetorial e espaços vetoriais. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender que escrever y como a soma de um vetor em W e outro ortogonal a W significa que estamos procurando a projeção de y em W. Matematicamente, queremos encontrar coeficientes c1, c2 e c3 tais que:
y = c1 u1 + c2 u2 + c3 u3 + v
onde v é ortogonal a W.
Passo 3
Para encontrar os coeficientes c1, c2 e c3, vamos usar a condição de ortogonalidade. Isso significa que o vetor v deve ser ortogonal a cada um dos vetores geradores de W. Ou seja:
v cdot ui = 0 para i=1,2,3
Substituindo v pela expressão y - (c1 u1 + c2 u2 + c3 u3), temos:
(y - c1 u1 - c2 u2 - c3 u3) cdot ui = 0 para i=1,2,3
Passo 4
Vamos montar o sistema de equações usando os produtos escalares: