Seja W o subespaço gerado pelos u e escreva y como uma soma de um vetor em W e outro ortogonal em W.
b) y=[r4 3 3 -1] ; u1=[l1 1 0 1] ; u2=[r-1 3 1 -2] ; u3=[r-1 0 1 1]

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A parada aqui é escrever o vetor y como a soma de um vetor que está no subespaço W (que é gerado pelos vetores u1, u2 e u3) e outro vetor que é ortogonal a W. Para isso, vamos precisar usar conceitos de projeção vetorial e espaços vetoriais. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender que escrever y como a soma de um vetor em W e outro ortogonal a W significa que estamos procurando a projeção de y em W. Matematicamente, queremos encontrar coeficientes c1, c2 e c3 tais que:
y = c1 u1 + c2 u2 + c3 u3 + v
onde v é ortogonal a W.

Passo 3

Para encontrar os coeficientes c1, c2 e c3, vamos usar a condição de ortogonalidade. Isso significa que o vetor v deve ser ortogonal a cada um dos vetores geradores de W. Ou seja:
v cdot ui = 0 para i=1,2,3
Substituindo v pela expressão y - (c1 u1 + c2 u2 + c3 u3), temos:
(y - c1 u1 - c2 u2 - c3 u3) cdot ui = 0 para i=1,2,3

Passo 4

Vamos montar o sistema de equações usando os produtos escalares:
Para i=1:
y cdot u1 - c1 (u1 cdot u1) - c2 (u2 cdot u1) - c3 (u3 cdot u1) = 0
Para i=2:
y cdot u2 - c1 (u1 cdot u2) - c2 (u2 cdot u2) - c3 (u3 cdot u2) = 0
Para i=3:
y cdot u3 - c1 (u1 cdot u3) - c2 (u2 cdot u3) - c3 (u3 cdot u3) = 0

Passo 5

Vamos calcular os produtos escalares:
Calculando ui cdot uj para todos i,j:
u1 cdot u1 = 1^2 + 1^2 + 0^2 + 1^2 = 3 u1 cdot u2 = 1*(-1) + 1*3 + 0*1 + 1*(-2) = -1 + 3 + 0 -2 = 0 u1 cdot u3 = 1*(-1) + 1*0 + 0*1 + 1*1 = -1 + 0 + 0 +1 = 0 u2 cdot u2 = (-1)^2 + 3^2 + 1^2 + (-2)^2 = 1 + 9 + 1 + 4 = 15 u2 cdot u3 = (-1)*(-1) + 3*0 + 1*1 + (-2)*1 = 1 + 0 + 1 -2 = 0 u3 cdot u3 = (-1)^2 + 0^2 + 1^2 + 1^2 = 1 + 0 + 1 + 1 = 3
Calculando y cdot ui:
y cdot u1 = 4*1 + 3*1 + 3*0 + (-1)*1 = 4 + 3 + 0 -1 = 6 y cdot u2 = 4*(-1) + 3*3 + 3*1 + (-1)*(-2) = -4 + 9 + 3 +2 = 10 y cdot u3 = 4*(-1) + 3*0 + 3*1 + (-1)*1 = -4 + 0 +3 -1 = -2

Passo 6

Com os valores calculados, o sistema fica:
3c1 + 0c2 + 0c3 = 6 0c1 + 15c2 + 0c3 = 10 0c1 + 0c2 + 3c3 = -2
Resolvendo cada equação:
Para a primeira equação:
3c1 = 6 Rightarrow c1 = 2
Para a segunda equação:
15c2 = 10 Rightarrow c2 = 1015 = 23
Para a terceira equação:
3c3 = -2 Rightarrow c3 = -23

Passo 7

Agora que temos os coeficientes, vamos encontrar o vetor que está em W:
w = c1 u1 + c2 u2 + c3 u3 = 2 1 1 0 1 + 23 -1 3 1 -2 + (-23) -1 0 1 1 = 2 2 0 2 + -23 2 23 -43 + 23 0 -23 -23 = 2 -23 + 23 2 + 2 + 0 0 + 23 - 23 2 - 43 - 23 = 2 4 0 0

Passo 8

Finalmente, o vetor ortogonal é:
v = y - w = 4 3 3 -1 - 2 4 0 0 = 2 -1 3 -1

Resposta

Assim, podemos escrever:
y = 2 4 0 0 + 2 -1 3 -1
Onde 2 4 0 0 está em W e 2 -1 3 -1 é ortogonal a W.

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