Encontre pelo menos os quatro primeiros termos não nulos em uma expansão em série de potências em torno de
da solução geral da equação diferencial dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
. O que a gente precisa fazer aqui é expandir a solução geral dessa equação em uma série de potências em torno de
e encontrar pelo menos os quatro primeiros termos que não sejam zero. Para isso, vamos usar o método das séries de potências, que nos ajuda a representar soluções de equações diferenciais como somas infinitas de potências de
.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução
pode ser escrita como uma série de potências em torno de
:
Isso significa que
é igual a
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas dessa série para substituir na equação diferencial. A primeira derivada
é:
E a segunda derivada
é:
Passo 4
Vamos substituir
,
e
na equação diferencial original:
Substituindo as séries, temos:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão acima:
Agrupando os termos semelhantes:
- Termo constante:
- Coeficiente de
: - Coeficiente de
: - Coeficiente de
: - E assim por diante.
Passo 6
Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de
dos dois lados da equação:
- Termo constante:
- Coeficiente de
:
- Coeficiente de
:
- Coeficiente de
:
Passo 7
Vamos resolver essas equações para encontrar os coeficientes
etc.
- Da primeira equação:
- Da segunda equação:
- Da terceira equação:
- Da quarta equação:
Passo 8
Vamos escolher valores para alguns coeficientes para simplificar. Normalmente, assumimos
como constante arbitrária (por exemplo,
para simplificar), mas aqui vamos resolver em termos de
.
Suponha que
:
- De
:
- De
:
Sem mais informações, podemos assumir(para simplificar):
- De
com :
- De
com :
Passo 9
Agora, temos os coeficientes encontrados:
Portanto, os primeiros quatro termos não nulos da série de potências são:
Resposta
Os quatro primeiros termos não nulos na expansão em série de potências da solução geral são: