Encontre pelo menos os quatro primeiros termos não nulos em uma expansão em série de potências em torno de da solução geral da equação diferencial dada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . O que a gente precisa fazer aqui é expandir a solução geral dessa equação em uma série de potências em torno de e encontrar pelo menos os quatro primeiros termos que não sejam zero. Para isso, vamos usar o método das séries de potências, que nos ajuda a representar soluções de equações diferenciais como somas infinitas de potências de .

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução pode ser escrita como uma série de potências em torno de :
Isso significa que é igual a .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas dessa série para substituir na equação diferencial. A primeira derivada é:
E a segunda derivada é:

Passo 4

Vamos substituir , e na equação diferencial original:
Substituindo as séries, temos:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão acima:
Agrupando os termos semelhantes:
  • Termo constante:
  • Coeficiente de :
  • Coeficiente de :
  • Coeficiente de :
  • E assim por diante.

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de dos dois lados da equação:
  1. Termo constante:
  1. Coeficiente de :
  1. Coeficiente de :
  1. Coeficiente de :

Passo 7

Vamos resolver essas equações para encontrar os coeficientes etc.
  1. Da primeira equação:
  1. Da segunda equação:
  1. Da terceira equação:
  1. Da quarta equação:

Passo 8

Vamos escolher valores para alguns coeficientes para simplificar. Normalmente, assumimos como constante arbitrária (por exemplo, para simplificar), mas aqui vamos resolver em termos de .
Suponha que :
  1. De :
  1. De :
    Sem mais informações, podemos assumir (para simplificar):
  1. De com :
  1. De com :

Passo 9

Agora, temos os coeficientes encontrados:
Portanto, os primeiros quatro termos não nulos da série de potências são:

Resposta

Os quatro primeiros termos não nulos na expansão em série de potências da solução geral são:

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Determine uma função vetorial tal que o traço de seja:
(1.1) a parábola
Resolva usando série .
Encontre pelo menos os quatro primeiros termos não-nulos em uma expansão em série de potências da solução do problema de valor inicial dado.
Considere as seguintes afirmações:
Se um elemento não pertence à interseção de e , então esse elemento não pertence a ou não pertence a .