Encontre pelo menos os quatro primeiros termos não nulos em uma expansão em série de potências em torno de da solução geral da equação diferencial dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . O que a gente precisa fazer aqui é expandir a solução geral dessa equação em uma série de potências em torno de e encontrar pelo menos os quatro primeiros termos que não sejam zero. Para isso, vamos usar o método das séries de potências, que nos ajuda a representar soluções de equações diferenciais como somas infinitas de potências de .
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução pode ser escrita como uma série de potências em torno de :
Isso significa que é igual a .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas dessa série para substituir na equação diferencial. A primeira derivada é:
E a segunda derivada é:
Passo 4
Vamos substituir , e na equação diferencial original:
Substituindo as séries, temos:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão acima:
Agrupando os termos semelhantes:
Termo constante:
Coeficiente de :
Coeficiente de :
Coeficiente de :
E assim por diante.
Passo 6
Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de dos dois lados da equação:
Termo constante:
Coeficiente de :
Coeficiente de :
Coeficiente de :
Passo 7
Vamos resolver essas equações para encontrar os coeficientes etc.
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Da terceira equação:
Da quarta equação:
Passo 8
Vamos escolher valores para alguns coeficientes para simplificar. Normalmente, assumimos como constante arbitrária (por exemplo, para simplificar), mas aqui vamos resolver em termos de .
Suponha que :
De :
De :
Sem mais informações, podemos assumir (para simplificar):
De com :
De com :
Passo 9
Agora, temos os coeficientes encontrados:
Portanto, os primeiros quatro termos não nulos da série de potências são:
Resposta
Os quatro primeiros termos não nulos na expansão em série de potências da solução geral são: