Encontre pelo menos os quatro primeiros termos não-nulos em uma expansão em série de potências da solução do problema de valor inicial dado.
y' + sen(x) y = 0, y(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para encontrar os quatro primeiros termos não nulos da solução da equação diferencial dada usando uma série de potências. A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver, vamos assumir que a solução pode ser escrita como uma série de potências em torno de :
Vamos encontrar os coeficientes que satisfazem a equação e a condição inicial.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar :
Agora, substituímos e na equação diferencial:

Passo 3

Precisamos expressar como uma série de potências. Sabemos que:
Agora, multiplicamos essa série pela série de :
Vamos multiplicar termo a termo e reorganizar em potências de .

Passo 4

Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de a zero para satisfazer a equação. Começando com o termo constante ( ):
Para :
Para :
Como , temos . Então:

Passo 5

Continuando para :
Sabemos que e , então:
Para :
Substituindo os valores conhecidos:

Resposta

Assim, os quatro primeiros termos não nulos da série de potências da solução são:

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