Encontre pelo menos os quatro primeiros termos não-nulos em uma expansão em série de potências da solução do problema de valor inicial dado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para encontrar os quatro primeiros termos não nulos da solução da equação diferencial dada usando uma série de potências. A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver, vamos assumir que a solução
pode ser escrita como uma série de potências em torno de
:
Vamos encontrar os coeficientes
que satisfazem a equação e a condição inicial.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar
:
Agora, substituímos
e
na equação diferencial:
Passo 3
Precisamos expressar
como uma série de potências. Sabemos que:
Agora, multiplicamos essa série pela série de
:
Vamos multiplicar termo a termo e reorganizar em potências de
.
Passo 4
Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de
a zero para satisfazer a equação. Começando com o termo constante (
):
Para
:
Para
:
Como
, temos
. Então:
Passo 5
Continuando para
:
Sabemos que
e
, então:
Para
:
Substituindo os valores conhecidos:
Resposta
Assim, os quatro primeiros termos não nulos da série de potências da solução são: