Resolva usando série y'' + xy' - 2y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial com as condições iniciais e . Vamos usar a série de potências para encontrar a solução. Isso significa que vamos expressar como uma soma infinita de termos com potências de . Para isso, precisaremos conhecer um pouco sobre como trabalhar com séries de potências e derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução pode ser escrita como uma série de potências centrada em 0:
Aqui, são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos calcular as primeiras e segundas derivadas de :

Passo 4

Vamos substituir , e na equação diferencial original:
Substituindo as séries, temos:

Passo 5

Vamos ajustar os índices das somas para que todas tenham o mesmo expoente de . Para isso, fazemos substituições de índice:
  • No primeiro termo, deixamos :
  • No segundo termo, multiplicamos por e ajustamos:
  • O terceiro termo já está com .
Assim, temos:

Passo 6

Agora, vamos combinar as somas:
Simplificando:

Passo 7

Isolando :
Essa é a fórmula de recorrência que nos permite encontrar os coeficientes a partir dos anteriores.

Passo 8

Vamos usar as condições iniciais para encontrar e :

Passo 9

Agora, vamos calcular alguns coeficientes usando a recorrência:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
E assim por diante. Observamos que os coeficientes ímpares além de são nulos.

Passo 10

Com os coeficientes calculados, podemos escrever a solução até o termo :
Ou seja:
Podemos continuar calculando mais termos se necessário, mas geralmente, para uma resposta final, expressamos a solução até os termos já encontrados ou até uma generalização.

Resposta

A solução da equação diferencial é .

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