Resolva usando série
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
com as condições iniciais
e
. Vamos usar a série de potências para encontrar a solução. Isso significa que vamos expressar
como uma soma infinita de termos com potências de
. Para isso, precisaremos conhecer um pouco sobre como trabalhar com séries de potências e derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução
pode ser escrita como uma série de potências centrada em 0:
Aqui,
são os coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos calcular as primeiras e segundas derivadas de
:
Passo 4
Vamos substituir
,
e
na equação diferencial original:
Substituindo as séries, temos:
Passo 5
Vamos ajustar os índices das somas para que todas tenham o mesmo expoente de
. Para isso, fazemos substituições de índice:
- No primeiro termo, deixamos
:
- No segundo termo, multiplicamos por
e ajustamos:
- O terceiro termo já está com
.
Assim, temos:
Passo 6
Agora, vamos combinar as somas:
Simplificando:
Passo 7
Isolando
:
Essa é a fórmula de recorrência que nos permite encontrar os coeficientes
a partir dos anteriores.
Passo 8
Vamos usar as condições iniciais para encontrar
e
:
Passo 9
Agora, vamos calcular alguns coeficientes usando a recorrência:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
E assim por diante. Observamos que os coeficientes ímpares além de
são nulos.
Passo 10
Com os coeficientes calculados, podemos escrever a solução até o termo
:
Ou seja:
Podemos continuar calculando mais termos se necessário, mas geralmente, para uma resposta final, expressamos a solução até os termos já encontrados ou até uma generalização.
Resposta
A solução da equação diferencial é
.
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Classifique as Equações Diferenciais seguindo os critérios de ordem e o grau:
Considere as seguintes afirmações:
Se um elemento não pertence à união de e
, então esse elemento não pertence a
e não pertence a
.
Se um elemento não pertence à união de
Determine uma função vetorial
tal que o traço de
seja:
(1.1) a parábola
(1.1) a parábola
Encontre pelo menos os quatro primeiros termos não nulos em uma expansão em série de potências em torno de
da solução geral da equação diferencial dada.