Obtenha soluções em série para cada uma das seguintes equações em torno de um ponto
adequado usando o valor de a se indicado. Em cada caso determine o conjunto de valores de x para os quais as séries convergem e, se possível, a soma da série na forma fechada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial
usando séries de potências em torno de
. A gente vai precisar conhecer um pouco sobre séries de Taylor e como usá-las para resolver equações diferenciais. Além disso, vamos aplicar as condições iniciais
e
para encontrar os coeficientes da série.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução
pode ser escrita como uma série de potências centrada em
:
Aqui,
são os coeficientes que precisamos determinar.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas de
:
Passo 4
Vamos substituir
e
na equação diferencial
:
Passo 5
Para facilitar, vamos mudar o índice do primeiro somatório substituindo
:
Agora, ambos os somatórios estão em termos de
, então podemos combiná-los:
Passo 6
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero. Então, temos a relação de recorrência:
Passo 7
Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar
e
.
-
Condição
: Quando, todos os termos com onde se anulam, então: -
Condição
: Calculandoe avaliando em :
Portanto,
e
.
Passo 8
Vamos usar a relação de recorrência para encontrar os demais coeficientes:
-
Para
: -
Para
: -
Para
: -
E assim por diante.
Observamos que os coeficientes ímpares (
) são todos zero, e os coeficientes pares seguem uma certa sequência.
Passo 9
Vamos generalizar os coeficientes pares. Observando os cálculos anteriores, percebemos que:
E os coeficientes ímpares são zero:
Passo 10
Agora, podemos escrever a solução em série:
Passo 11
Essa série é conhecida como a série de Taylor para a função cosseno hiperbólico:
Portanto,
Passo 12
Conjunto de Convergência:
A série de Taylor para
converge para toda
, ou seja, o intervalo de convergência é
.
Resposta
A solução em série da equação diferencial é
, válida para todo número real
.