Obtenha soluções em série para cada uma das seguintes equações em torno de um ponto x = a adequado usando o valor de a se indicado. Em cada caso determine o conjunto de valores de x para os quais as séries convergem e, se possível, a soma da série na forma fechada.
y'' - y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando séries de potências em torno de x = 0. A gente vai precisar conhecer um pouco sobre séries de Taylor e como usá-las para resolver equações diferenciais. Além disso, vamos aplicar as condições iniciais y(0) = 1 e para encontrar os coeficientes da série.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução y(x) pode ser escrita como uma série de potências centrada em x = 0:
Aqui, são os coeficientes que precisamos determinar.

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas de y(x):

Passo 4

Vamos substituir y(x) e na equação diferencial :

Passo 5

Para facilitar, vamos mudar o índice do primeiro somatório substituindo :
Agora, ambos os somatórios estão em termos de , então podemos combiná-los:

Passo 6

Para que essa igualdade seja verdadeira para todo x, os coeficientes de cada potência de x devem ser iguais a zero. Então, temos a relação de recorrência:

Passo 7

Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar e .
  1. Condição y(0) = 1:
    Quando x = 0, todos os termos com onde n ≥ 1 se anulam, então:
  2. Condição :
    Calculando e avaliando em x = 0:
Portanto, e .

Passo 8

Vamos usar a relação de recorrência para encontrar os demais coeficientes:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • E assim por diante.
Observamos que os coeficientes ímpares ( ) são todos zero, e os coeficientes pares seguem uma certa sequência.

Passo 9

Vamos generalizar os coeficientes pares. Observando os cálculos anteriores, percebemos que:
E os coeficientes ímpares são zero:

Passo 10

Agora, podemos escrever a solução em série:

Passo 11

Essa série é conhecida como a série de Taylor para a função cosseno hiperbólico:
Portanto,

Passo 12

Conjunto de Convergência:
A série de Taylor para converge para toda x em R, ou seja, o intervalo de convergência é (-infinito, infinito).

Resposta

A solução em série da equação diferencial é , válida para todo número real x.

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