Verifique se as hipóteses do Teorema do Valor Médio estão satisfeitas nos itens abaixo. Se elas não estiverem satisfeitas, decida se a conclusão do Teorema ainda vale.
(d)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer é verificar se o Teorema do Valor Médio (TVM) se aplica à função dada no intervalo
. O TVM é uma ferramenta importante no cálculo que nos diz que, sob certas condições, existe um ponto no intervalo onde a derivada da função é igual à média da inclinação entre as extremidades. Para isso, vamos precisar checar se a função é contínua no intervalo fechado
e se é diferenciável no intervalo aberto
.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a continuidade da função
no intervalo
. A função está definida por partes:
Para a função ser contínua, ela não pode ter “saltos” ou “quebras” no intervalo. Vamos verificar especialmente no ponto onde a definição muda, ou seja, em
.
Passo 3
No ponto
, vamos calcular os limites pela esquerda e pela direita e ver se eles coincidem com o valor de
:
- Limite pela direita (
):
- Limite pela esquerda (
):
E
. Como os limites coincidem com o valor da função,
é contínua em
e, portanto, contínua em todo o intervalo
.
Passo 4
Agora, vamos verificar a diferenciabilidade da função no intervalo aberto
. A função
é diferenciável em cada pedaço, já que
e
são funções polinomiais, que são diferenciáveis em todo lugar. Porém, precisamos ter certeza de que a derivada existe em
:
- Derivada pela direita (
):
- Derivada pela esquerda (
):
Como as derivadas pela direita e pela esquerda em
são iguais, a função é diferenciável em
e, portanto, em todo o intervalo
.
Resposta
As hipóteses do Teorema do Valor Médio estão satisfeitas para a função
no intervalo
. Portanto, existe pelo menos um ponto
em
onde a derivada
é igual à média da inclinação entre
e
.