Verifique se as hipóteses do Teorema do Valor Médio estão satisfeitas nos itens abaixo. Se elas não estiverem satisfeitas, decida se a conclusão do Teorema ainda vale.
(d) f(x) = { x², se x ≥ 0; -x², se x < 0 }, [a, b] = [-2, 2]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer é verificar se o Teorema do Valor Médio (TVM) se aplica à função dada no intervalo . O TVM é uma ferramenta importante no cálculo que nos diz que, sob certas condições, existe um ponto no intervalo onde a derivada da função é igual à média da inclinação entre as extremidades. Para isso, vamos precisar checar se a função é contínua no intervalo fechado e se é diferenciável no intervalo aberto .

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a continuidade da função no intervalo . A função está definida por partes:
Para a função ser contínua, ela não pode ter “saltos” ou “quebras” no intervalo. Vamos verificar especialmente no ponto onde a definição muda, ou seja, em .

Passo 3

No ponto , vamos calcular os limites pela esquerda e pela direita e ver se eles coincidem com o valor de :
  • Limite pela direita ( ):
  • Limite pela esquerda ( ):
E . Como os limites coincidem com o valor da função, é contínua em e, portanto, contínua em todo o intervalo .

Passo 4

Agora, vamos verificar a diferenciabilidade da função no intervalo aberto . A função é diferenciável em cada pedaço, já que e são funções polinomiais, que são diferenciáveis em todo lugar. Porém, precisamos ter certeza de que a derivada existe em :
  • Derivada pela direita ( ):
  • Derivada pela esquerda ( ):
Como as derivadas pela direita e pela esquerda em são iguais, a função é diferenciável em e, portanto, em todo o intervalo .

Resposta

As hipóteses do Teorema do Valor Médio estão satisfeitas para a função no intervalo . Portanto, existe pelo menos um ponto em onde a derivada é igual à média da inclinação entre e .

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