Encontre um número
tal que
e que a reta tangente ao gráfico de cada função
em
seja paralela à secante que passa pelos os pontos
e
. Esboce o gráfico de
e mostre a tangente e a secante.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar um número
que está entre
e
tal que a reta tangente ao gráfico da função
no ponto
seja paralela à reta secante que liga os pontos
e
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas para encontrar a inclinação da tangente e da secante, e depois igualá-las para encontrar
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os valores de
e
. Como
:
Passo 3
Agora, vamos determinar a inclinação da reta secante que passa pelos pontos
e
. A inclinação
é dada por:
Passo 4
Em seguida, precisamos da inclinação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
. Para isso, vamos calcular a derivada de
:
Assim, a inclinação da tangente em
é:
Passo 5
Queremos que a reta tangente seja paralela à reta secante, ou seja, suas inclinações devem ser iguais:
Passo 6
Agora, vamos resolver a equação para encontrar
:
Resposta
O número
que satisfaz as condições do exercício é
.
Gráfico (Descrição)
Embora eu não possa desenhar aqui, vou te dar uma ideia de como o gráfico fica:
- A função
é uma curva crescente que começa no ponto . - A reta secante liga os pontos
e . - A reta tangente em
será uma linha reta que toca a curva exatamente nesse ponto e tem a mesma inclinação da secante, ou seja, .
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, como no Teorema do Valor Médio, para cada uma das seguintes funções:
(b) .
(b)
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, como no Teorema do Valor Médio, para cada uma das seguintes funções:
(a) .
(a)
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, como no Teorema do Valor Médio, para cada uma das seguintes funções:
© .
©
Encontre o número
, como no Teorema do Valor Médio, para cada uma das seguintes funções:
(e) .
(e)