Encontre um número c tal que a < c < b e que a reta tangente ao gráfico de cada função f em (c, f(c)) seja paralela à secante que passa pelos os pontos (a, f(a)) e (b, f(b)). Esboce o gráfico de f e mostre a tangente e a secante.
(b) f(x) = raiz(x), a = 4, b = 9

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar um número que está entre e tal que a reta tangente ao gráfico da função no ponto seja paralela à reta secante que liga os pontos e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas para encontrar a inclinação da tangente e da secante, e depois igualá-las para encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os valores de e . Como :

Passo 3

Agora, vamos determinar a inclinação da reta secante que passa pelos pontos e . A inclinação é dada por:

Passo 4

Em seguida, precisamos da inclinação da reta tangente ao gráfico de no ponto . Para isso, vamos calcular a derivada de :
Assim, a inclinação da tangente em é:

Passo 5

Queremos que a reta tangente seja paralela à reta secante, ou seja, suas inclinações devem ser iguais:

Passo 6

Agora, vamos resolver a equação para encontrar :

Resposta

O número que satisfaz as condições do exercício é .

Gráfico (Descrição)

Embora eu não possa desenhar aqui, vou te dar uma ideia de como o gráfico fica:
  • A função é uma curva crescente que começa no ponto .
  • A reta secante liga os pontos e .
  • A reta tangente em será uma linha reta que toca a curva exatamente nesse ponto e tem a mesma inclinação da secante, ou seja, .

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