Encontre o número
, como no Teorema do Valor Médio, para cada uma das seguintes funções:
(a)
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o número
que satisfaz o Teorema do Valor Médio para a função
no intervalo
. Esse teorema é super útil no cálculo para encontrar um ponto específico onde a inclinação da reta tangente à curva é igual à inclinação da reta que liga os pontos finais do intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que diz o Teorema do Valor Médio (TVM). Ele afirma que se a função
é contínua no intervalo fechado
e diferenciável no intervalo aberto
, então existe pelo menos um número
em
tal que:
Isso significa que a derivada de
em algum ponto
é igual à taxa de variação média da função no intervalo.
Passo 3
Vamos verificar se nossa função
atende às condições do TVM:
-
Continuidade: A função polinomial
é contínua em todo o seu domínio, então está contínua em . -
Diferenciabilidade: A função também é diferenciável em todo o seu domínio, então é diferenciável em
.
Como as duas condições estão satisfeitas, podemos aplicar o TVM.
Passo 4
Agora, vamos calcular a taxa de variação média da função no intervalo
. Isso é dado por:
Vamos calcular
e
:
Então,
Portanto, a taxa de variação média é 13.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar
tal que a derivada de
em
seja igual a essa taxa de variação média. Primeiro, vamos encontrar a derivada de
:
Então, queremos que:
Passo 6
Para encontrar
, vamos resolver a equação:
Como estamos trabalhando no intervalo
, consideramos apenas a raiz positiva:
Resposta
O número
que satisfaz o Teorema do Valor Médio para a função
no intervalo
é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Para cada uma das funções abaixo encontre os extremos absolutos no intervalo dado.
(b)
(b)
Para cada uma das funções abaixo encontre os extremos absolutos no intervalo dado.
© .
©
Encontre o número
, como no Teorema do Valor Médio, para cada uma das seguintes funções:
(b) .
(b)
Encontre um número
tal que
e que a reta tangente ao gráfico de cada função
em
seja paralela à secante que passa pelos os pontos
e
. Esboce o gráfico de
e mostre a tangente e a secante.
(b)
(b)