Encontre o número , como no Teorema do Valor Médio, para cada uma das seguintes funções:
(a) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o número que satisfaz o Teorema do Valor Médio para a função no intervalo . Esse teorema é super útil no cálculo para encontrar um ponto específico onde a inclinação da reta tangente à curva é igual à inclinação da reta que liga os pontos finais do intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que diz o Teorema do Valor Médio (TVM). Ele afirma que se a função é contínua no intervalo fechado e diferenciável no intervalo aberto , então existe pelo menos um número em tal que:
Isso significa que a derivada de em algum ponto é igual à taxa de variação média da função no intervalo.

Passo 3

Vamos verificar se nossa função atende às condições do TVM:
  1. Continuidade: A função polinomial é contínua em todo o seu domínio, então está contínua em .
  2. Diferenciabilidade: A função também é diferenciável em todo o seu domínio, então é diferenciável em .
Como as duas condições estão satisfeitas, podemos aplicar o TVM.

Passo 4

Agora, vamos calcular a taxa de variação média da função no intervalo . Isso é dado por:
Vamos calcular e :
Então,
Portanto, a taxa de variação média é 13.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar tal que a derivada de em seja igual a essa taxa de variação média. Primeiro, vamos encontrar a derivada de :
Então, queremos que:

Passo 6

Para encontrar , vamos resolver a equação:
Como estamos trabalhando no intervalo , consideramos apenas a raiz positiva:

Resposta

O número que satisfaz o Teorema do Valor Médio para a função no intervalo é aproximadamente .

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Para cada uma das funções abaixo encontre os extremos absolutos no intervalo dado.
(b)
Para cada uma das funções abaixo encontre os extremos absolutos no intervalo dado.
© .
Encontre o número , como no Teorema do Valor Médio, para cada uma das seguintes funções:
(b) .
Encontre um número tal que e que a reta tangente ao gráfico de cada função em seja paralela à secante que passa pelos os pontos e . Esboce o gráfico de e mostre a tangente e a secante.
(b)