Encontre o número
, como no Teorema do Valor Médio, para cada uma das seguintes funções:
©
.
©
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um número
que satisfaz o Teorema do Valor Médio para a função
no intervalo de
de
a
. Esse teorema faz parte do cálculo diferencial e nos ajuda a encontrar pontos onde a derivada (ou a inclinação da tangente) é igual à taxa de variação média da função nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que diz o Teorema do Valor Médio. Ele afirma que se uma função é contínua em um intervalo fechado
e diferenciável no intervalo aberto
, então existe pelo menos um número
em
tal que:
Ou seja, a derivada em
é igual à taxa de variação média da função no intervalo.
Passo 3
Vamos conferir se nossa função atende às condições do teorema. Nossa função
é um polinômio, e sabemos que polinômios são contínuos e diferenciáveis em todo lugar. Então, está tudo certo para aplicar o Teorema do Valor Médio no intervalo de
a
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada da fun�o
. A derivada de
usando a regra do poder é:
Passo 5
Em seguida, vamos calcular a taxa de variação média da função no intervalo
. Isso é feito calculando
:
Então, a taxa de variação média é
.
Passo 6
Agora, igualamos a derivada
à taxa de variação média para encontrar
:
Isso nos dá duas soluções possíveis:
e
. Porém,
precisa estar dentro do intervalo aberto
. Como
está no limite, descartamos essa opção.
Resposta
O número
que satisfaz o Teorema do Valor Médio é
.
Exercícios relacionados
Encontre um número
tal que
e que a reta tangente ao gráfico de cada função
em
seja paralela à secante que passa pelos os pontos
e
. Esboce o gráfico de
e mostre a tangente e a secante.
(b)
(b)
Encontre o número
, como no Teorema do Valor Médio, para cada uma das seguintes funções:
(b) .
(b)
Encontre o número
, como no Teorema do Valor Médio, para cada uma das seguintes funções:
(e) .
(e)
Encontre um número
tal que
e que a reta tangente ao gráfico de cada função
em
seja paralela à secante que passa pelos os pontos
e
. Esboce o gráfico de
e mostre a tangente e a secante.
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