Encontre o número , como no Teorema do Valor Médio, para cada uma das seguintes funções:
© .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um número que satisfaz o Teorema do Valor Médio para a função no intervalo de de a . Esse teorema faz parte do cálculo diferencial e nos ajuda a encontrar pontos onde a derivada (ou a inclinação da tangente) é igual à taxa de variação média da função nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que diz o Teorema do Valor Médio. Ele afirma que se uma função é contínua em um intervalo fechado e diferenciável no intervalo aberto , então existe pelo menos um número em tal que:
Ou seja, a derivada em é igual à taxa de variação média da função no intervalo.

Passo 3

Vamos conferir se nossa função atende às condições do teorema. Nossa função é um polinômio, e sabemos que polinômios são contínuos e diferenciáveis em todo lugar. Então, está tudo certo para aplicar o Teorema do Valor Médio no intervalo de a .

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada da funç��o . A derivada de usando a regra do poder é:

Passo 5

Em seguida, vamos calcular a taxa de variação média da função no intervalo . Isso é feito calculando :
Então, a taxa de variação média é .

Passo 6

Agora, igualamos a derivada à taxa de variação média para encontrar :
Isso nos dá duas soluções possíveis: e . Porém, precisa estar dentro do intervalo aberto . Como está no limite, descartamos essa opção.

Resposta

O número que satisfaz o Teorema do Valor Médio é .

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Encontre um número tal que e que a reta tangente ao gráfico de cada função em seja paralela à secante que passa pelos os pontos e . Esboce o gráfico de e mostre a tangente e a secante.
(b)
Encontre o número , como no Teorema do Valor Médio, para cada uma das seguintes funções:
(b) .
Encontre o número , como no Teorema do Valor Médio, para cada uma das seguintes funções:
(e) .
Encontre um número tal que e que a reta tangente ao gráfico de cada função em seja paralela à secante que passa pelos os pontos e . Esboce o gráfico de e mostre a tangente e a secante.
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