Encontre o número , como no Teorema do Valor Médio, para cada uma das seguintes funções:
(b) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar o número que satisfaz o Teorema do Valor Médio para a função no intervalo de . O Teorema do Valor Médio faz parte do cálculo diferencial e nos ajuda a encontrar um ponto específico onde a derivada da função é igual à inclinação da reta secante que liga os pontos e .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os valores de e no intervalo dado. Aqui, e .

Passo 3

Agora, vamos calcular e :

Passo 4

A próxima etapa é calcular a inclinação da reta secante que liga esses dois pontos:
çã

Passo 5

Segundo o Teorema do Valor Médio, existe pelo menos um número no intervalo tal que a derivada da função em é igual à inclinação da reta secante. Então, precisamos encontrar onde:

Passo 6

Vamos encontrar a derivada de :

Passo 7

Agora, igualamos a derivada a 7 e resolvemos para :

Resposta

O número é igual a .

Exercícios relacionados

Encontre o número , como no Teorema do Valor Médio, para cada uma das seguintes funções:
(a) .
Para cada uma das funções abaixo encontre os extremos absolutos no intervalo dado.
(b)
Encontre um número tal que e que a reta tangente ao gráfico de cada função em seja paralela à secante que passa pelos os pontos e . Esboce o gráfico de e mostre a tangente e a secante.
(b)
Encontre o número , como no Teorema do Valor Médio, para cada uma das seguintes funções:
© .