Encontre o número c, como no Teorema do Valor Médio, para cada uma das seguintes funções:
(b) f(x) = x^2 + 5x, 0 <= x <= 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar o número que satisfaz o Teorema do Valor Médio para a função no intervalo de . O Teorema do Valor Médio faz parte do cálculo diferencial e nos ajuda a encontrar um ponto específico onde a derivada da função é igual à inclinação da reta secante que liga os pontos e .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os valores de e no intervalo dado. Aqui, e .

Passo 3

Agora, vamos calcular e :

Passo 4

A próxima etapa é calcular a inclinação da reta secante que liga esses dois pontos:
çã

Passo 5

Segundo o Teorema do Valor Médio, existe pelo menos um número no intervalo tal que a derivada da função em é igual à inclinação da reta secante. Então, precisamos encontrar onde:

Passo 6

Vamos encontrar a derivada de :

Passo 7

Agora, igualamos a derivada a 7 e resolvemos para :

Resposta

O número é igual a .

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