Encontre o número
, como no Teorema do Valor Médio, para cada uma das seguintes funções:
(b)
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar o número
que satisfaz o Teorema do Valor Médio para a função
no intervalo de
. O Teorema do Valor Médio faz parte do cálculo diferencial e nos ajuda a encontrar um ponto específico onde a derivada da função é igual à inclinação da reta secante que liga os pontos
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os valores de
e
no intervalo dado. Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, vamos calcular
e
:
Passo 4
A próxima etapa é calcular a inclinação da reta secante que liga esses dois pontos:
Passo 5
Segundo o Teorema do Valor Médio, existe pelo menos um número
no intervalo
tal que a derivada da função em
é igual à inclinação da reta secante. Então, precisamos encontrar
onde:
Passo 6
Vamos encontrar a derivada de
:
Passo 7
Agora, igualamos a derivada a 7 e resolvemos para
:
Resposta
O número
é igual a
.