Eshoce as curvas e ache a área entre as curvas.
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar as curvas das funções
e
, além das retas verticais
e
. Depois, vamos calcular a área que fica entre essas curvas nesse intervalo. Para isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente integrais, para achar essa área.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como são essas funções. A função
é uma exponencial que cresce bem rápido conforme
aumenta. Já
é a raiz quadrada de
, que cresce mais devagar. As retas
e
são linhas verticais que delimitam nosso intervalo de interesse.
Passo 3
Agora, vamos ver qual dessas duas funções está por cima no intervalo de
a
. Para isso, podemos comparar os valores das funções em algum ponto dentro desse intervalo. Por exemplo, quando
:
Vemos que
está acima de
nesse intervalo.
Passo 4
Sabendo qual função está por cima, podemos calcular a área entre elas integrando a diferença entre as funções no intervalo de 0 a 1. A fórmula geral para a área entre duas curvas
e
de
a
é:
Aqui,
e
.
Passo 5
Vamos calcular a integral:
Primeiro, vamos integrar
:
Depois, vamos integrar
:
Agora, aplicamos os limites de 0 a 1:
Simplificando:
Resposta
A área entre as curvas no intervalo de
a
é
unidades quadradas.