Encontre os números críticos da função.
f(theta)=2 cos theta+sen^2 theta

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de encontrar os números críticos da função . Isso envolve o estudo de derivadas, já que os números críticos são os valores de onde a derivada da função é zero ou não existe. Para isso, vamos precisar calcular a derivada da função e resolver onde ela é igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar os números críticos de uma função, precisamos calcular a derivada dessa função em relação a e depois encontrar os valores de que tornam a derivada igual a zero ou que fazem com que a derivada não exista.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de f(theta) = 2 cos theta + sin^2 theta . A função é:
f'(theta) = 2 cdot (-sin theta) + 2 sin theta cos theta = -2 sin theta + 2 sin theta cos theta
Para derivar, usamos as regras de derivação:
  • A derivada de é .
  • A derivada de usa a regra do poder e a regra da cadeia: .
Então, a derivada de é:

Passo 4

Agora, vamos simplificar a expressão da derivada:
f'(theta) = sin theta (-2 + 2 cos theta) = 2 sin theta (cos theta - 1)
Para encontrar os números críticos, igualamos a derivada a zero:
2 sin theta (cos theta - 1) = 0
Isso acontece quando qualquer fator da multiplicação é zero:
  1. ou seja,

Passo 5

Vamos resolver cada equação:
  1. theta = 0, pi, 2pi, ldots theta = 0, 2pi, 4pi, ldots
  2. theta = 0, pi, 2pi, 3pi, ldots
Portanto, os números críticos da função são todos os valores de onde é múltiplo de :

Resposta

Os números críticos da função são todos os valores de theta = kpi onde k é inteiro múltiplos de , ou seja:
é

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