Encontre os números críticos da função.
F(x)=x^4 / 5(x-4)^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício quer que a gente encontre os números críticos da função . Isso faz parte do estudo de cálculo, mais especificamente de derivadas. Para resolver, vamos precisar calcular a derivada da função e identificar onde ela é igual a zero ou onde não existe, porque esses pontos são os números críticos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função F'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) . Como é o produto de duas funções, e , vamos usar a regra do produto, que diz que:

Passo 3

Vamos calcular u'(x) = 45x^45 - 1 = 45x^-15 e v'(x) = 2(x - 4) separadamente.
Para , a derivada é:
Para , a derivada é:

Passo 4

Agora, substituímos F'(x) = ( 45x^-15 )(x - 4)^2 + x^45 cdot 2(x - 4) , , e na regra do produto:

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, podemos fatorar F'(x) = x^-15(x - 4)( 45(x - 4) + 2x ) e :

Passo 6

Agora, simplificamos dentro dos parênteses:
45(x - 4) + 2x = 45x - 165 + 2x = 145x - 165
Então, a derivada fica:
F'(x) = x^-15(x - 4)( 145x - 165 )

Passo 7

Para encontrar os números críticos, buscamos onde x^-15(x - 4)( 145x - 165 ) = 0 ou onde não existe.
  1. Quando :
Isso ocorre quando:
  1. Quando não existe:
não existe quando .

Resposta

Os números críticos da função x = 0, x = 87, e x = 4 são:

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