Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de f no intervalo dado.
f(x)=x+1x, [0,2 ; 4]

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos os valores máximo e mínimo absolutos da função no intervalo . Isso está dentro do estudo de cálculo, mais especificamente de derivadas e extrema de funções. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função para descobrir onde ela atinge seus pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de f'(x) = ddx(x + 1x) = 1 - 1x^2 . A derivada nos ajuda a entender onde a função está aumentando ou diminuindo, e onde pode ter máximos ou mínimos. Assim, temos:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de f'(x) = 0 Rightarrow 1 - 1x^2 = 0 Rightarrow x^2 = 1 Rightarrow x = pm 1 onde a derivada é zero ou não existe. Nesse caso, a derivada existe para todo no intervalo , então vamos resolver:
Dentro do nosso intervalo, apenas é válido.

Passo 4

Com os pontos críticos identificados, vamos avaliar a função f(1) = 1 + 11 = 2 nesses pontos e também nas extremidades do intervalo para encontrar os valores máximos e mínimos. Vamos calcular:
f(2) = 2 + 12 = 2,5
f(4) = 4 + 14 = 4,25

Resposta

O valor mínimo absoluto é em e o valor máximo absoluto é em .

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