Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de
no intervalo dado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar os valores máximo e mínimo absolutos da função
no intervalo
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente de derivadas para localizar pontos críticos onde a função pode atingir seus valores máximos ou mínimos.
Passo 2
Primeiro, precisamos derivar a função
para encontrar onde a inclinação da curva é zero, ou seja, onde a derivada é igual a zero. Isso nos ajudará a identificar os pontos críticos.
A função é:
Vamos aplicar a regra do produto para derivar
.
Passo 3
A regra do produto diz que se temos uma função
, então a derivada
é:
Aqui,
e
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas individuais:
- Derivada de
:
- Derivada de
:
Agora, aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Passo 5
Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
Como
nunca é zero, temos:
Portanto, os pontos críticos são
e
.
Passo 6
Agora, vamos avaliar a função
nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo
.
- No ponto
:
- No ponto
:
- No ponto
:
- O ponto
não está dentro do intervalo , então não o consideramos.
Resposta
Os valores máximos e mínimos absolutos da função
no intervalo
são:
- Máximo absoluto: aproximadamente
no ponto . - Mínimo absoluto: aproximadamente
no ponto .
Exercícios relacionados
Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de
no intervalo dado.
Encontre os números críticos da função.
Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de
no intervalo dado.
Quando um objeto estranho se aloja na traqueia, forçando uma pessoa a tossir, o diafragma empurra-o para cima, causando um aumento na pressão dos pulmões. Isso é acompanhado por uma contração da traqueia, fazendo um canal mais estreito por onde passa o ar expelido. Para uma dada quantidade de ar escapar em um tempo fixo, é preciso que ele se mova mais rápido através do tubo mais estreito do que no mais largo. Quanto maior for a velocidade da corrente de ar, maior a força sobre o objeto estranho.
uso de raios
mostra que o raio do tubo circular da traqueia se contrai para cerca de
de seu raio normal durante a tosse. De acordo com o modelo matemático para a tosse, a velocidade
está relacionada ao raio
da traqueia pela equação
em que
é uma constante e
, o raio normal da traqueia. A restrição sobre
deve-se ao fato de que as paredes da traqueia endurecem sob pressão, evitando uma contração maior que
(de outra forma, a pessoa ficaria sufocada).
(a) Determine o valor de no intervalo
no qual
tenha um máximo absoluto. Como isso se compara com a evidência experimental?
(b) Qual é o valor máximo absoluto de no intervalo?
(a) Determine o valor de
(b) Qual é o valor máximo absoluto de