Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de no intervalo dado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar os valores máximo e mínimo absolutos da função no intervalo . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente de derivadas para localizar pontos críticos onde a função pode atingir seus valores máximos ou mínimos.

Passo 2

Primeiro, precisamos derivar a função para encontrar onde a inclinação da curva é zero, ou seja, onde a derivada é igual a zero. Isso nos ajudará a identificar os pontos críticos.
A função é:
Vamos aplicar a regra do produto para derivar .

Passo 3

A regra do produto diz que se temos uma função , então a derivada é:
Aqui, e .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas individuais:
  1. Derivada de :
  1. Derivada de :
Agora, aplicando a regra do produto:
Simplificando:

Passo 5

Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
Como nunca é zero, temos:
Portanto, os pontos críticos são e .

Passo 6

Agora, vamos avaliar a função nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo .
  1. No ponto :
  1. No ponto :
  1. No ponto :
  1. O ponto não está dentro do intervalo , então não o consideramos.

Resposta

Os valores máximos e mínimos absolutos da função no intervalo são:
  • Máximo absoluto: aproximadamente no ponto .
  • Mínimo absoluto: aproximadamente no ponto .

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