Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de f no intervalo dado.
f(x)=x e^-x^2 / 8, [-1,4]

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar os valores máximo e mínimo absolutos da função no intervalo . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente de derivadas para localizar pontos críticos onde a função pode atingir seus valores máximos ou mínimos.

Passo 2

Primeiro, precisamos derivar a função f(x) = x e^-x^2 / 8 para encontrar onde a inclinação da curva é zero, ou seja, onde a derivada é igual a zero. Isso nos ajudará a identificar os pontos críticos.
A função é:
Vamos aplicar a regra do produto para derivar .

Passo 3

A regra do produto diz que se temos uma função f'(x) = u'(x) cdot v(x) + u(x) cdot v'(x) , então a derivada é:
Aqui, e .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas individuais:
  1. Derivada de u'(x) = ddx x = 1 :
v'(x) = ddx e^-x^2 / 8 = e^-x^2 / 8 cdot ( -2x8 ) = -x4 e^-x^2 / 8
  1. Derivada de f'(x) = u'(x) cdot v(x) + u(x) cdot v'(x) = 1 cdot e^-x^2 / 8 + x cdot ( -x4 e^-x^2 / 8 ) :
f'(x) = e^-x^2 / 8 - x^24 e^-x^2 / 8 = e^-x^2 / 8 (1 - x^24)
Agora, aplicando a regra do produto:
Simplificando:

Passo 5

Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
f'(x) = e^-x^2 / 8 (1 - x^24) = 0
Como 1 - x^24 = 0 Rightarrow x^24 = 1 Rightarrow x^2 = 4 Rightarrow x = pm 2 nunca é zero, temos:
Portanto, os pontos críticos são e .

Passo 6

Agora, vamos avaliar a função f(-1) = (-1) e^-(-1)^2 / 8 = -1 cdot e^-1/8 approx -1 cdot 0,8825 approx -0,8825 nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo f(2) = 2 e^-2^2 / 8 = 2 cdot e^-4/8 = 2 cdot e^-0,5 approx 2 cdot 0,6065 approx 1,213 .
  1. No ponto f(4) = 4 e^-4^2 / 8 = 4 cdot e^-16/8 = 4 cdot e^-2 approx 4 cdot 0,1353 approx 0,541 :
  1. No ponto :
  1. No ponto :
  1. O ponto não está dentro do intervalo , então não o consideramos.

Resposta

Os valores máximos e mínimos absolutos da função no intervalo são:
  • Máximo absoluto: aproximadamente no ponto .
  • Mínimo absoluto: aproximadamente no ponto .

Exercícios relacionados