Encontre os números críticos da função
f(x) = 5 x^(2/3) + x^(5/3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar os números críticos da função . Aqui, vamos usar conceitos de cálculo, mais especificamente de derivadas. Para encontrar os números críticos, precisamos calcular a derivada da função e identificar onde ela é zero ou não existe.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos mostra a taxa de variação da função em cada ponto, e é essencial para identificar os números críticos.
A função dada é:
Para derivar, aplicamos a regra da potência, que diz que a derivada de é .

Passo 3

Aplicando a regra da potência em cada termo:
  1. Derivada de :
  1. Derivada de :
Então, a derivada de toda a função é:

Passo 4

Agora, simplificamos a expressão da derivada para facilitar a análise:

Passo 5

Para encontrar os números críticos, precisamos resolver e identificar onde não existe.
Primeiro, igualamos a derivada a zero:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar o denominador:

Passo 6

Agora, verificamos onde a derivada não existe. Olhando para , percebemos que a derivada não existe quando , ou seja, quando .

Resposta

Os números críticos da função são e .

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